Restricción de una gavilla a una fibra

Question

He llegado a través de la noción de la restricción de una gavilla a una fibra, pero no he sido capaz de encontrar una definición adecuada, podría alguien tal vez la fuente uno?

Supongamos que $f: X \to Y$ es un morfismo de esquemas. Que $y \in Y$. Entonces $X_y = X \times_Y Spec \ k(y)$ es la fibra de $y$. Suponga más lejos que $\mathcal{L}$ es un haz en $X$. ¿Qué se entiende por $\mathcal{L}_y$, la restricción de $\mathcal{L}$ a la fibra?

Answer 1

Yo creo que por lo general significa que el pullback de $\mathcal{L}$ $X_y$cuando usted está en el contexto de $\mathcal{O}_X$-módulos, como el comentario anterior, dice. Tenga cuidado, sin embargo, desde Hartshorne inicialmente se define la restricción de una gavilla a un subconjunto cerrado como el inverso de la imagen gavilla, no el pullback. Sin embargo, cuando usted tiene un $\mathcal{O}_X$ -módulo, para la mayoría de los usos que usted quiere que la restricción sea un $\mathcal{O}_{X_y}$-módulo.

En este caso, una forma de ver el pullback a la fibra es $\mathcal{L}\otimes k(y)$ donde $k(y)$ es el residuo de campo de $y$; esto da una gavilla en $X$ que es el pushforward de la restricción de $\mathcal{L}$ $X_y$y se identifica generalmente con la restringida gavilla.