Calculando los residuos de $\dfrac{1}{\sin^2 z}$ .

Question

Me cuesta calcular correctamente los residuos de $\dfrac{1}{\sin^2 z}$ . I sé que los polos ocurren en $k\pi$ , con orden $2$ .

Mediante una expansión de Taylor puedo reescribir $\sin z=\cos k\pi(z-k\pi)+f_2(z)(z-k\pi)^2$ y así $$\sin^2 z=(z-k\pi)^2(\cos k\pi+f_2(z)(z-k\pi))^2.$$ Quiero calcular el residuo con el Teorema Integral de Cauchy, así que $$\text{Res}(f,k\pi)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-k\pi|=1}\frac{dz}{(z-k\pi)^2[\cos k\pi +f_2(z)(z-k\pi)]^2}.$$ Esto debería ser igual a la derivada de $(\cos k\pi+f_2(z)(z-k\pi))^{-2}$ evaluado en $k \pi$ . La derivada resulta ser $$-2(\cos k\pi+f_2(z)(z-k\pi))^{-3}(f'_2(z)(z-k\pi)+f_2(z))$$ y evalúa a $\dfrac{-2f_2(k\pi)}{(\cos k\pi)^3}$ . Aparentemente el residuo debería sólo ser $0$ pero no veo cómo concluir esto. ¿Qué me falta por saber? $f_2(k\pi)=0$ ?

Answer 1

$\sin(z)=z-z^3/6+\dots$ así que $$\begin{align} \frac{1}{\sin^2(z)} &=\frac{1}{z^2}\left(1-z^2/6+\dots\right)^{-2}\\ &=\frac{1}{z^2}\left(1+z^2/3+\dots\right)\\ &=\frac{1}{z^2}+\frac13+\dots \end{align}$$ Así, el residuo en $z=0$ es $0$ ya que no hay $\dfrac{1}{z}$ término. Los demás siguen por periodicidad.

Answer 2

Estás trabajando demasiado. Haz el residuo en $z=0$ primero: $1/\sin^2 z$ es una función par, por lo que su expansión en serie sólo implica potencias pares de $z$ . O, si lo desea, puede ver que $$\int_C \frac1{\sin^2z}\,dz=0$$ para un círculo pequeño $C$ centrado en el origen, observando que el integrando es el mismo en puntos opuestos del círculo, mientras que $dz$ en lados opuestos son los negativos del otro.

Los residuos en los otros polos siguen por periodicidad.