Valores en la línea de fusión

Question

Si consideramos que una parte de la cantidad de la línea, por ejemplo en el intervalo de $[0,100]$, y la división en regiones, por ejemplo, se dividió a la $80$ crear $2$ regiones.

Ahora quiero subdividir las dos regiones. La región de $[0,80]$ $m$ particiones y de la región de $[80,100]$ $n$ particiones. Si $m = 2$ $n = 10$ (por ejemplo), y la subpartitioning fue realizado por la división de la región igualmente, cuando pasamos de la primera región en el segundo, el tamaño de la partición es muy diferente. Lo que quiero hacer es mezclar las divisiones entre las regiones.

Sugerencias sobre ¿cómo puedo hacer esto (teniendo en cuenta que yo no soy bueno en las matemáticas) ¡bienvenido!

EDIT: lo Siento por ser claro. La imagen debe ayudar. En esta foto hay 2 regiones divide en 2 y 4 (no podía dibujar fácilmente 10 divisiones!). La parte superior muestra equidistante de dividir el que es ignorante de lo que ocurre en una región vecina. La parte inferior de la imagen es más o menos lo que quiero. Un requisito clave es que los nodos en el intervalo de $[80,100]$ ir desde tener un mayor espaciado de la menor distancia entre los más salirse del intervalo de $[0,80]$. Si hay 10 nodos dentro de $[80,100]$, que sería principalmente se acumulan hacia 100 y las diferencias entre los nodos conseguir progresivamente más pequeños. El mayor espacio debido a la gran división de tamaño en la vecina intervalo.

El número de línea se podía dividir en cualquier número de regiones, y el número de divisiones en cada región no es elegido por mí, pero me imponen. Una región podrían afectar a las regiones adyacentes sólo.

Answer 1

¿Usted elija $m$ $n$ o son fijos? Si te da a elegir ellos, en la proporción de los tamaños de los intervalos iniciales. Así que si usted tiene $[0,80]$ $[80,100]$ y desea $m+n=12$, usted debe elegir a $m=10,\ n=2$ a llegar los primeros intervalos de $8$ y la segunda $10$.

Si $m$ $n$ son dados podía imaginar tener los sub-intervalos en progresión aritmética. Los subintervalos en la primera se $a, a+d, a+2d \ldots a+(m-1)d$ donde $d$ puede ser negativo si se desea. La suma de estas es $ma+m(m-1)d/2$, que en su caso debería ser $80$. El uso de $b$ $e$ para el segundo intervalo, se han $nb+n(n-1)e/2$ para la suma, que debe ser igual a $20$. Así que elige $a,b,d,e$, de modo que $$ma+m(m-1)d/2=80$$

$$nb+n(n-1)b=20$$

$$a+(m-1)d \approx b$$

O tal vez usted quiere los pasos a seguir, en cuyo caso usted podría pedir que $$a+md=b$$

Este es de tres ecuaciones con cuatro incógnitas, por lo que debe tener un solo grado de libertad a la izquierda. Sin embargo, si usted tiene un gran desajuste (como en tu ejemplo) entre el promedio de los subintervalos, los subintervalos puede ser negativo.

Answer 2

Esto se ve como un problema donde la interpolación podría ser una herramienta útil. Voy a ilustrar algunas de las distintas propiedades de la partición puede capturar, comenzando con el caso más simple.

Supongamos que todo el intervalo en cuestión es $[a,b]$, el cual está dividido en algún punto de $c$ en el intervalo. Dividimos la subinterval $[a,c]$ a $m$ a partes iguales, y el subinterval $[c,b]$ a $n$ a partes iguales.

Queremos a "suavizar" el intervalo de alguna forma. Bien, podríamos empezar preocupa sólo el número total de subintervalos, $m+n$. Entonces sólo tiene que dividir el intervalo de $[a,b]$ a $m+n$ a partes iguales. Pero eso no es muy satisfactorio.

En su lugar, vamos a tomar en cuenta los tamaños de los originales de las particiones. Al menos podemos mantener el primer y el último particiones del mismo tamaño que cuando fueron podemos cambiar de tamaño. Ahora, ¿no sería agradable si pudiéramos hacer una función que nos daría los extremos de la $n^{\text{th}}$ partición cuando conectamos $n$? Cuáles son las propiedades que queremos que esta función tiene? Así, tendríamos que empezar a $a$, lo $f(0) = a$. Y, como hemos dicho, queremos fijar la longitud de la primera partición, así que queremos que $f(1) = a + (c-a)/m$, que es la longitud de la primera partición. También queremos fijar la longitud de la última partición, así que tenemos que arreglar sus extremos en$b - (b-c)/n$$b$. En resumen, queremos

1. $f(0) = a,$

2. $f(1) = a + (c-a)/m,$

3. $f(m+n-1) = b - (b-c)/n,$

4. $f(m+n) = b.$

Queremos que el resto de las particiones que acaba de suave a sí mismos entre estos dos, así que vamos a dibujar una simple curva suave a través de estos puntos de datos y hacer con ella. Para ello, nos vamos a encontrar a la interpolación polinómica (el de la interpolación de Lagrange polinomio tiene un particularmente sencillo formulario) para estos puntos. Es fácil en Mathematica:

InterpolatingPolynomial[{{0,a},{1,a+(c-a)/m},{n+m-1,b-(b-c)/n},{n+m,b}},x]

Esto devuelve

$$f(x) = a+x \left(\frac{b-a}{m+n}-\frac{[b m+a n-c (m+n)] [(n-1) (m+n)+(m-n) x] (m+n-x)}{m n (m+n) (m+n-1) (m+n-2)}\right).$$

The results are generally OK. Let's take $a=0$ and $b=100$ as in your example. Now, $c=80$, $m=2$, and $n=10$ is a little extreme, and this polynomial doesn't behave well in that case. Here are some other examples, where the red dots are the original partitioning and the blue dots are the rescaled partitioning.

$c=80$, $m=2$, $n=6$:

$c=50$, $m=2$, $n=9$:

$c=20$, $m=6$, $n=6$:

Generally the results are best the closer the original distribution is to completely uniform.

Now, we may also wish to keep the same number of partitions on either side of $c$. That is, if the original partitioning has $m$ partitions to the left of $c$ and $n$ to the right, we want the rescaled partitioning to do the same. So, on top of conditions (1)-(4) we had earlier, we also want $f(m) = c$, so that the $m^{\text{th}}$ partition ends at $c$. Let's also require that the $m^{\text{th}}$ partition has a length which is the average of the lengths of the first and the last partitions. That is, we want $f(m-1) = c - (n (c - a) + m (b - c))/2 m(n)$. In Mathematica:

InterpolatingPolynomial[{{0,a},{1,a+(c-a)/m},{n+m-1,b-(b-c)/n},{n+m,b},{m,c},{m-1,c-(n (c-a)+m (b-c))/(2 m n)}},x]

The polynomial it gives is pretty ugly, so I'll leave it out. Here are some examples:

$c=80$, $m=4$, $n=5$:

$c=50$, $m=14$, $n=5$:

$c=30$, $m=6$, $n=6$:

Los resultados son un poco raros sometmes pero conservan más de la estructura de la original de particionado que el ejemplo anterior. Así que supongo que depende de lo que usted necesita.