¿Encontrar todos los números de tres dígitos $\overline{abc}$ tal que 6003 dígitos número $\overline{abcabcabc.....abc}$ es divisible por 91?

Question

¿Encontrar todos los números de tres dígitos $\overline{abc}$ tal que $6003$dígitos número $\overline{abcabcabc......abc}$ es divisible por 91? Aquí $\overline{abc}$ ocurre $2001$ veces. Sé que la regla de divisibilidad para 91 que Estados restar $9$ veces el dígito pasado del resto y, para los números grandes, para formar la suma alterna de bloques de tres números de derecha a izquierda. Sin embargo, no soy capaz de ver cómo podía aplicar esta regla para determinar el % de números $\overline{abc}$. ¿Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que:

• $91=7\cdot13$
• $7\mid\overline{abc\ldots abc}\iff7\mid(\overline{abc}-\overline{abc}+\overline{abc}-\ldots+\overline{abc})\iff7\mid\overline{abc}$
• $13\mid\overline{abc\ldots abc}\iff13\mid(\overline{abc}-\overline{abc}+\overline{abc}-\ldots+\overline{abc})\iff13\mid\overline{abc}$

Por lo tanto $91\mid\overline{abc\ldots abc}\iff91\mid\overline{abc}$, que lleva a cabo en cualquiera de los siguientes casos:

• $\overline{abc}=091$
• $\overline{abc}=182$
• $\overline{abc}=273$
• $\overline{abc}=364$
• $\overline{abc}=455$
• $\overline{abc}=546$
• $\overline{abc}=637$
• $\overline{abc}=728$
• $\overline{abc}=819$
• $\overline{abc}=910$

Answer 2

El número dado se puede escribir como sigue,

$abc(1+10^3+10^6+\cdots+10^{6000})$

Ahora, $91|1001=1+10^3$. Cuenta con la suma de $S=1+10^3+10^6+\cdots+10^{6000}$ $2001$ condiciones, por lo tanto, $91$ y $(1+10^3)+10^6(1+10^3)+\cdots+10^{1999}(1+10^3)+10^{6000}$ son relativamente privilegiada $\implies$ $abc$ es un múltiplo de 91.

Por lo tanto, los números requeridos son $91\times n$, donde $n={2,3,4,5,6,7,8,9}$, es decir, los números requeridos son:

$182,273,364,455,546,637,728,819$ y $910$