El operador compacto con rango cerrado tiene rango dimensional finito

Question

Sea $X,Y$ sean espacios de Banach, y sea $T\in K(X,Y)$ sea un operador compacto de $X$ à $Y$ . Tengo que demostrar que $T(X)$ es cerrado en Y si, y sólo si, $\dim(T(X))<\infty$ .

¿Puede alguien ayudarme con esta prueba, por favor? Seguro que hay alguna propiedad en la que no he pensado, pero me estoy volviendo muy raro ahora mismo.... ¡Gracias!

Answer 1

Sea $Z=T(X)$ . Entonces $Z$ es también un espacio de Banach, como subespacio cerrado de un espacio de Banach, y $T:X\to Z$ es onto, y por tanto abierta, debido al Teorema del Mapa Abierto. Si $Z$ fueran de dimensión infinita, entonces $T$ no sería compacto, ya que los conjuntos abiertos en espacios de dimensión infinita no son precompactos.

Answer 2

Pista: Prueba el teorema del mapa abierto.

Answer 3

Sugerencia un espacio de Banach de dimensión infinita nunca es $\sigma$ -compacto (por el teorema de la categoría de Baire).