Unidades de$\mathbb Z[X]/(X^n+1)$?

Question

¿Cuáles son las unidades del anillo ciclotómico$\mathbb Z[X]/(X^n+1)$, con$n$ siendo una potencia de$2$?

Estoy empezando a pensar que el conjunto$\{\pm X^k,k=0,\dots,n-1\}$ contiene todas las unidades, ¿es así?

Answer 1

No es cierto. El teorema de Dirichlet , dice que el grupo de la unidad de un campo de número de $K$ es finitely generado de rango $r_1+r_2-1$ donde $r_1$ $r_2$ el número de reales (resp. la mitad de la cantidad de complejos) incrustaciones de $K$.

El campo $\mathbb Q(\zeta)$, $\zeta^n+1=0$, con $n>1$ un poder de $2$, no tiene incrustaciones y tiene exactamente $n$ complejo de incrustaciones. Por tanto, el grupo de unidades de su anillo de enteros (que es $\mathbb Z[\zeta]$) tiene rango $n/2-1$. En particular, no es un grupo finito de $n>2$.

Lo cierto es que describe completamente la torsión en el grupo de unidades. Pero hay un montón de otras unidades en general.