Encuentre $\lim\limits_{t\to 0^+} \int_0^{\infty} \frac{t f(x)}{t^2+x^2} dx$

Question

La cuestión es:

Sea $f(x)$ sea acotada y continua en $[0,\infty)$ . Sea $\displaystyle F(t)=\int_0^{\infty} \frac{t f(x)}{t^2+x^2} dx$ para $t>0$ .

Encuentre $\displaystyle \lim_{t\to 0^+} F(t)$ .

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Si pongo $|f(x)|\leq M$ entonces puedo obtener $|F(t)|\leq \frac{\pi}{2} M$ . Pero no puedo encontrar el límite.

Intento reescribir $\displaystyle F(t)=\int_0^{\infty} \frac{f(t y)}{1+y^2} dy$ .

Creo que si puedo poner el límite en la integración, entonces $$\displaystyle \lim_{t\to o^+} F(t)=\int_0^{\infty} \frac{\lim\limits_{t\to 0^+}f(t y)}{1+y^2} dy=\frac{\pi}{2} f(0).$$

Pero no sé si puedo hacer. Espero que pueda recibir algunos consejos o método aquí.

Gracias por su atención.

Answer 1

Dividir la integral en dos partes. Sea $\epsilon > 0$ y que $\delta > 0$ tal que $|x| \leq \delta$ implica $|f(x) - f(0)| \leq \epsilon$ . Entonces $$\begin{align*} \left| F(t) - \frac{\pi}{2} f(0) \right| & = \left| \int_{0}^{\infty} \frac{f(t x) - f(0)}{1+x^2} \; dx \right| \\ & \leq \int_{0}^{\infty} \frac{|f(t x) - f(0)|}{1+x^2} \; dx \\ & = \int_{0}^{\delta / t} \frac{|f(t x) - f(0)|}{1+x^2} \; dx + \int_{\delta / t}^{\infty} \frac{|f(t x) - f(0)|}{1+x^2} \; dx \\ & \leq \epsilon \int_{0}^{\delta / t} \frac{dx}{1+x^2} + \int_{\delta / t}^{\infty} \frac{2M}{1+x^2} \; dx \\ & \leq \frac{\pi}{2} \epsilon + \int_{\delta / t}^{\infty} \frac{2M}{1+x^2} \; dx. \end{align*}$$ Tomando así $\limsup_{t \to 0^+}$ obtenemos $$\limsup_{t \to 0^+} \left| F(t) - \frac{\pi}{2} f(0) \right| \leq \frac{\pi}{2}\epsilon.$$ Dado que esto es cierto para cualquier $\epsilon > 0$ debemos tener $$\begin{align*} \limsup_{t \to 0^+} \left| F(t) - \frac{\pi}{2} f(0) \right| = 0 & \Longrightarrow \lim_{t \to 0^+} \left| F(t) - \frac{\pi}{2} f(0) \right| = 0 \\ & \Longrightarrow \lim_{t \to 0^+} F(t) = \frac{\pi}{2} f(0) \end{align*}$$

Answer 2

Como ha hecho, utilizando la sustitución $x=ty$ podemos reescribir $F(t)$ como $\displaystyle F(t)=\int_0^{\infty} \frac{f(t y)}{1+y^2} dy$ . Por supuesto, $f$ está acotada, es decir $|f(ty)|\leq M$ para alguna constante $M$ . Esto implica que $$\left|\frac{f(t y)}{1+y^2}\right|\leq \frac{M}{1+y^2}\mbox{ for all }y\in[0,\infty).$$ Tenga en cuenta que la función $\displaystyle\frac{M}{1+y^2}$ es integrable en $[0,\infty)$ para $$\int_0^\infty \frac{M}{1+y^2}dy=\frac{M\pi}{2}<\infty.$$ Por Teorema de convergencia dominada tenemos $$\lim_{t\rightarrow 0^+}F(t)=\lim_{t\rightarrow 0^+}\int_0^{\infty} \frac{f(t y)}{1+y^2} dy= \int_0^{\infty} \lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{f(t y)}{1+y^2} dy= \int_0^{\infty} \frac{f(0)}{1+y^2} dy=\frac{f(0)\pi}{2}.$$