Todo depende de la escala, es decir, el parámetro que se toma para ser pequeño (grande) en el efectivo descripción del sistema.
Es la costumbre de interpretar la semiclásica parámetro a ser una cantidad "equivalente" a $\hbar$, pero va a cero. Esto es conveniente, en la clásica escala de energías de la constante de Planck es comparativamente muy pequeño. Equivalentemente, podemos pensar en la semiclásica parámetro como representa la inversa de la "frecuencia característica" de la partícula de la onda (y por lo tanto el límite clásico es el límite de frecuencias muy altas).
Otro parámetro diferente es el número de partículas $N$. Podemos pensar en tomar el límite de $N\to\infty$ en un determinado $N$-sistema de partículas. Resulta que, matemáticamente, esto es similar a tomar el límite clásico , pero la interpretación física es muy diferente.
Por lo tanto, vamos a considerar un sistema de $N$ libre de no-relativista bosones de masa $1/2$. Su Hamiltoniano puede ser escrito como
$$H_N=\sum_{j=1}^N -\hbar^2\Delta_{x_j}\; ;$$
donde $\Delta_x$ es el Laplaciano, o, equivalentemente, en la "segunda cuantización" notación
$$H_N = -\hbar^2\int_{\mathbb{R}^3}a^*(x)\Delta_x a(x)dx\; \Bigr\rvert_{L^2_s(\mathbb{R}^{3N})}\; ;$$
donde la restricción a $L^2_s(\mathbb{R}^{3N})$ significa que sólo estamos considerando el sector de la con $N$ de las partículas (ya que en realidad el número de partículas es aquí conservadas, y no es tan útil tener en cuenta todo el espacio de Fock).
Ahora, si tomamos el límite de $N\to\infty$, se obtiene, de hecho, una energía funcional (no un operador más, por lo tanto, un "clásico" de infinitas dimensiones la teoría de campo) del tipo
$$E(u)=-\hbar^2\int_{\mathbb{R}^3}\bar{u}(x)\Delta_x u(x)dx\; ;$$
donde $u\in L^2(\mathbb{R}^3)$ es el "clásico" (más correctamente, significa campo) variable correspondiente a la aniquilación operador de valores de la distribución de $a(x)$. La interpretación es de libre cuántica de campo medio de la teoría : $u$ representan la eficaz función de onda de una partícula bajo el efecto de todas las otras partículas combinadas (que en este caso se reduce a una partícula libre, ya que no hubo interacción). Con un cuerpo débil (en el límite de $N\to\infty$) de la interacción que tendría la energía de Hartree y funcional correspondiente Hartree dinámica.
Si se toma el límite de $\hbar\to 0$ en lugar de eso, usted consigue $N$ libre clásica de partículas , con la función de la energía
$$E(\vec{x},\vec{p})=\sum_{j=1}^N p_j^2\; ;$$
donde $p_j\in\mathbb{R}^3$ es el impulso de la $j$-ésima partícula.
Como se puede ver, los dos límites muy diferentes físico intepretations, incluso si en realidad son matemáticamente bastante similar. Yo la observación de que ellos también pueden ser combinados en una "conmutativa"; al final se obtiene una clásica Vlasov-tipo de evolución infinitamente muchos clásica de partículas (tanto si usted hace antes de la $\hbar\to 0$ y, a continuación, el $N\to\infty$ o vice-versa).
La situación es diferente si usted se considera un "verdadero" QFT, donde las partículas pueden ser creados o destruidos, por ejemplo, los fotones en QED. Allí, el límite clásico en $\hbar\to 0$ directamente los rendimientos, como se esperaba, un clásico de la teoría de campo. Por otro lado, el medio campo no es tan significativa, ya que hay estados cuánticos con un indefinido (posiblemente muy grande) número de partículas; y puesto que el número no se conserva, incluso si usted comienza con un número fijo de partículas, después de la evolución de obtener un estado con una probabilidad no nula de que tienen diferentes números de partículas.
