Transformación natural: Productos directos

Question

Tengo un resultado que me dice $$\displaystyle \varphi : \text{Hom}_R \bigg(A, \prod_{i \in I} B_i \bigg) \to \prod_{i \in I} \text{Hom}_R(A, B_i)$$ es un $Z(R)$ -isomorfismo. El siguiente resultado me dice que es natural (que es la parte que no estoy entendiendo):

El isomorfismo $\varphi$ es natural: si $(C_j)_{j \in J}$ es una familia de izquierda $R$ -y, para cada $i \in I$ existe $j \in J$ y un $R$ -mapa $\sigma_{ij} : B_i \to C_j$ entonces hay un diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin{CD} \text{Hom}_R \bigg(A, \prod_{i \in I} B_i\bigg) @>\varphi>> \prod_{i \in I} \text{Hom}_R(A, B_i)\\ @V \sigma_* V V@VV \widetilde \sigma V\\ \text{Hom}_R \bigg( A, \prod_{j \in J} C_j \bigg) @>>\varphi> \prod_{j \in J} \text{Hom}_R(A, C_j) \end{CD} donde $\displaystyle \sigma : \prod_{i \in I} B_i \to \prod_{j \in J} C_j$ viene dada por $(b_i) \mapsto (\sigma_{ij}b_i)$ y $\sigma_*$ es el mapa inducido, y $\widetilde \sigma : (g_i) \mapsto (\sigma_{ij}g_i)$ .

Mi definición de transformación natural es:

Dejemos que $S, T : \mathcal A \to \mathcal B$ sean funtores covariantes. Una transformación natural $\tau : S \to T$ es una familia de morfismos de un parámetro en $\mathcal B$ , $\tau = (\tau_A : SA \to TA)_{A \in \text{Obj(A)}}$ haciendo que el siguiente diagrama conmute para todos $f : A \to A'$ en $\mathcal A$ : $\require{AMScd}$ \begin{CD} SA @>\tau_A>> TA\\ @V S_f V V @VV T_f V\\ SA' @>>\tau_{A'}> TA' \end{CD}

Tengo problemas para saber qué son $S, T$ ? O incluso $\mathcal A, \mathcal B$ ?

Por ejemplo, ¿estoy viendo $\mathcal A$ es una categoría en la que los objetos son familias de izquierda $R$ -módulos $(B_i)_{i \in I}$ ? y luego $S$ es un functor que lleva esta categoría a la categoría de conjuntos, definida por $$S\big( (B_i)_{i \in I}\big) = \text{Hom}_R\bigg(A, \prod_{i \in I} B_i \bigg)?$$

O es $\mathcal A$ la categoría de la izquierda $R$ -módulos en los que sólo miramos como productos como un caso especial? Mi preocupación con esto es que los mapas entre productos como $\sigma : \prod B_i \to \prod C_j$ se definen de forma especial, así que ¿dónde se tiene en cuenta?

Para terminar este post, espero que alguien pueda ayudarme a ver el resultado en términos de la definición que me han dado para las transformaciones naturales. (En cuanto a demostrar que el diagrama era conmutativo, eso fue bastante sencillo).

Fuente : "Introducción al Álgebra Homológica", Joseph Rotman, Página 54, Teorema 2.30.

Answer 1

Ok, creo que el libro trata de hacer lo siguiente (aunque evitando muchos detalles).

Como caso general para cada categoría $\mathbf C$ puede crear una categoría $\text{Fam}(\mathbf C)$ cuyo:

• objetos son familias de objetos en $\mathbf C$ Es decir, cosas como $(c_i)_{i \in I}$ donde cada $c_i$ está en $\mathbf C$
• morfismos de $(c_i)_{i \in I}$ a $(d_j)_{j \in J}$ son pares $\langle f, \sigma \rangle$ donde $f \colon J \to I$ y
  $\sigma=\langle\sigma_j \colon c_{f(j)} \to d_j\rangle_{j \in J}$
• composición de pares de morfismos $$(c_i)_{i \in I} \stackrel{\langle f, \sigma\rangle}{\longrightarrow}(d_j)_{j \in J} \stackrel{\langle g,\tau \rangle}{\longrightarrow}(e_l)_{l \in L}$$ se define como el morfismo $$(c_i)_{i \in I} \stackrel{\langle h, \psi\rangle}{\longrightarrow} (e_l)_{l \in L}$$ donde $h=f \circ g$ y $\psi_{l}=\tau_l \circ \sigma_{g(l)}\colon c_{f(g(l))} \to e_l$ por cada $l \in L$ . Las identidades son las obvias.

Si $\mathbf C$ es una categoría con productos tenemos un functor $$\prod \colon \text{Fam}(\mathbf C) \to \mathbf C$$ que se asocia a cada familia $(c_i)_{i \in I}$ (una elección de) su producto $\prod_I c_i$ .

La parte de la flecha de este functor no es tan sencilla de describir, pero puedes intentar escribirla como ejercicio.

Volvamos a su problema. Para empezar, sabemos que para cada anillo $R$ la categoría $\mathbf{Mod}_R$ de $R$ módulos y $R$ -mapas lineales tiene productos por lo que para la observación anterior se tiene un functor $$\prod \colon \mathbf{Fam}(\mathbf {Mod}_R) \to \mathbf{Mod}_R$$

Por otro lado, para cada $R$ -Módulo $A$ también tiene un functor $$y_A \colon \textbf{Mod}_R \to \textbf{Mod}_{Z(R)}$$ que envía cada módulo $B$ en el $Z(R)$ -Módulo $\text{Hom}_R(A,B)$ . Este functor se extiende naturalmente a un functor $$\bar y_A \colon \textbf{Fam}(\textbf{Mod}_R) \to \textbf{Fam}(\textbf{Mod}_{Z(R)})$$ que envía a cada familia $(B_i)_{i \in I}$ de $R$ -en la familia de $Z(R)$ -Módulo $(\text{Hom}_{Z(R)}(A,B_i))_{i \in I}$ . También la categoría $\textbf{Mod}_{Z(R)}$ admite su propio functor de producto $\prod$ .

A partir de estos datos se obtienen los siguientes funtores

$$\mathbf{Fam}(\mathbf{Mod}_R) \stackrel{\prod}{\longrightarrow} \textbf{Mod}_R \stackrel{y_A}{\longrightarrow} \textbf{Mod}_{Z(R)}$$ y $$\mathbf{Fam}(\mathbf{Mod}_R) \stackrel{\bar y_A}{\longrightarrow} \textbf{Fam}(\textbf{Mod}_{Z(R)}) \stackrel{\prod}{\longrightarrow} \textbf{Mod}_{Z(R)}$$

El primer functor asocia a cada familia $(B_i)_{i \in I}$ de $R$ -módulos el $Z(R)$ -Módulo $\text{Hom}_R(A,\prod B_i)$ el segundo el módulo $\prod \text{Hom}_R(A,B_i)$ .

El enunciado del teorema dice que la familia de morfismos $\varphi$ es una transformación natural para estos dos funtores.