Relaciones fundamentales de la conmutación en la mecánica cuántica

Question

Estoy tratando de compilar una lista de las fundamentales relaciones de conmutación que involucran la posición, el momento lineal, momento angular total, el impulso angular orbital, y el momento angular de espín. Aquí es lo que tengo hasta ahora:

$$ [x_i,x_j]=0 \\ [p_i,p_j]=0 \\ [x_i,p_j]=i\manejadores\delta_{ij} \\ [J_i,J_j]=i\manejadores\epsilon_{ijk}J_k \\ [L_i,L_j]=i\manejadores\epsilon_{ijk}L_k \\ [S_i,S_j]=i\manejadores\epsilon_{ijk}S_k \\ [J^2,J_i]=[L^2,L_i]=[S^2,S_i]=0, donde \ X^2=X_i^2+X_j^2+X_k^2 $$

También sé que $L$ $S$ tiempo de viaje, pero estoy seguro de por qué. He escuchado que es simplemente porque actúan sobre las diferentes variables, pero no entiendo exactamente lo que esto significa. Es allí una manera de mostrar esto de forma explícita?

¿Cuáles son las restantes relaciones de conmutación entre $J$, $J^2$, $L$, $L^2$, $S$, y $S^2$?

Answer 1

También sé que la L y la S tiempo de viaje, pero estoy seguro de por qué. He escuchado que es simplemente porque actúan sobre la diferencia de las variables, pero no entiendo exactamente lo que esto significa. Es allí una manera de mostrar esto de forma explícita?

Supongamos que tenemos dos espacios de Hilbert $H_1$$H_2$, un operador $A_1$ actuando en $H_1$, y un operador $A_2$ actuando en $H_2$. Deje $H = H_1 \otimes H_2$. Entonces podemos definir el $A_1$ $A_2$ $H$ mediante la definición de \begin{align} A_1(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= A_1|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle \\ A_2(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= |a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle \end{align} donde $|a_1\rangle \in H_1, |a_2\rangle \in H_2$; y se extiende linealmente a todos los de $H$. Entonces \begin{align} A_1 \circ A_2(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= A_1(|a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle) \\ &= A_1|a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle \\ &= A_2(A_1|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) \\ &= A_2 \circ A_1(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) \end{align} así que el colector se desvanece en todo lo puro tensores, y por lo tanto en todos los de $H$.

Esta es precisamente la situación que tenemos con los operadores de $L$$S$. En general, la función de onda de una partícula que se vive en un producto tensor espacio. La distribución espacial de la parte de la función de onda se vive en un espacio, el de cuadrado integrable funciones en $\mathbb{R}^3$. El spin parte, por otro lado, vive en un spinor el espacio, es decir, una representación de $SU(2)$. $L$ actúa en la distribución espacial de la parte, mientras que $S$ actúa sobre el spin parte.

¿Cuáles son las restantes relaciones de conmutación entre $J$, $J^2$, $L$, $L^2$, $S$, y $S^2$?

Usted debe ser capaz de trabajar de estos por su propia cuenta, el uso de la conmutación y anti-relaciones de conmutación usted ya sabe, y las propiedades de los conmutadores y anti-conmutadores. Por ejemplo,

$$[J_i, L_j] = [L_i + S_i, L_j] = [L_i, L_j] + [S_i, L_j] = i\hbar\epsilon_{ijk} L_k$$

Del mismo modo:

\begin{align} [J_i^2, L_j] &= J_i[J_i, L_j] + [J_i, L_j]J_i \\ &= J_i(i\hbar \epsilon_{ijk}L_k) + (i\hbar\epsilon_{ijk}L_k)J_i \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}\{J_i, L_k\} \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}\{L_i + S_i, L_k\} \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}(\{L_i, L_k\} + \{S_i, L_k\}) \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}(2\delta_{ik} I + 2S_i L_k) \\ &= 2i\hbar\epsilon_{ijk} S_i L_k \end{align} donde hemos utilizado el hecho de que $L_i$ $S_j$ viaje, la linealidad de la $[,]$$\{,\}$, y la identidad

$$[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B$$

Answer 2

No olvide los operadores de creación / aniquilación bosónica (operadores de osciladores armónicos)

$[a,a^{\dagger}] = 1$

y las contrapartes del fermión

$\{ c, c^{\dagger} \} \equiv cc^{\dagger}+c^{\dagger} c = 1$