¿Qué significa la densidad de una distribución en un punto?

Question

Sé cómo utilizar los PDF para calcular las probabilidades, pero creo que no los entiendo. Por ejemplo, en $X=0$ la PDF de la distribución normal estándar es $\approx 0.4$ . ¿Tiene esto algún significado útil?

Answer 1

Como sabes, una densidad de probabilidad no es una probabilidad. Una interpretación de la densidad considera la relación $$f_X(x) = F'_X(x).$$ En este contexto, la densidad en algún valor $X = x$ es el tasa de cambio instantánea de la distribución acumulativa; es decir, la rapidez con la que la probabilidad de observar $X \le x$ está aumentando.

Otra interpretación proviene del límite $$f_X(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \Pr[x \le X \le x + \Delta x].$$ En este sentido, la densidad es la probabilidad diferencial de observar $X \in [x, x + \Delta x]$ dividido por la longitud del intervalo $\Delta x$ . Así que en cierto sentido representa una probabilidad de observar $X \in [x, x + \Delta x]$ con densidades mayores que reflejan una mayor probabilidad de observar valores en ese intervalo.

Answer 2

Antes de responder directamente a su pregunta, es importante señalar que, para las variables continuas, la densidad en $X = x$ no puede puede interpretarse como la probabilidad de que $X = x$ . De hecho, la densidad en cualquier $x$ puede ser mayor que uno porque lo único que importa es que la densidad se integra a uno, y los intervalos son infinitesimales.

Teniendo en cuenta estos antecedentes, la densidad tiene varios significados útiles. Uno de ellos es que puede utilizarse para calcular su creencia relativa de que $X = x_1$ frente a otros $x_2$ . Para ello, basta con tomar el cociente de las dos densidades.

Así, aunque normalmente nos interesan más las áreas bajo la curva con una anchura mayor que cero, se pueden comparar las áreas bajo la curva con una anchura infinitesimal. Sin embargo, la relevancia de esa comparación depende de su pregunta de investigación.

Para darle un ejemplo concreto de cuándo es útil comparar densidades, le señalo una pregunta que hice recientemente en Cross Validated sobre las distribuciones a priori útiles para un coeficiente de correlación cuando se quieren evitar los límites de la distribución. Argumenté que una posible distribución a priori, una distribución beta con ambos parámetros iguales a dos, es bastante informativa en el sentido de que pone alrededor de siete veces la creencia en que la correlación sea cero que en que sea moderadamente negativa en torno a -0,4 o fuertemente positiva en torno a 0,94. Para ello, he dividido la densidad aproximada en $x = 0$ por las densidades aproximadas en los puntos del dominio de la distribución beta (que es 0,1) y obtuvo el número siete. Así que la distribución Beta(2,2) tiene siete veces más fuerte la creencia de que la correlación es cero que la de que es moderadamente negativa o fuertemente positiva.

Espero que esto ayude.

Answer 3

$f(0)$ es la densidad en 0.

Es significativo en varios sentidos.

Por ejemplo, la probabilidad de estar a una pequeña distancia de $x$ ( $\pm \varepsilon/2$ ) de $x$ es aproximadamente $\varepsilon f(x)$ .

Es relativa probabilidad; para la normal estándar $f(0)$ es $\sqrt{e}f(1)$ Por tanto, un valor muy cercano a 0 es, en términos relativos, 1,65 veces más probable que un valor tan cercano a 1.

Answer 4

También hay que tener en cuenta que mientras la densidad en un punto tiene un valor, la probabilidad en un punto para una distribución continua siempre será cero ya que el área bajo un punto es 0.