Explica si las tres probabilidades suman o no la unidad. ¿Combinaciones con reemplazo?

Question

Problema (1): Un almacén contiene 200 ordenadores; 5 son defectuosos y 195 están bien. Se seleccionan dos ordenadores al azar con sustitución .

1. Calcule la probabilidad de que ninguno de los dos ordenadores sea defectuoso (¿correcto?) $$\frac {\binom {195+2-1}{2}}{\binom {200+2-1}{2}}$$
2. Calcule la probabilidad de que exactamente un ordenador sea defectuoso (¿correcto?) $$\frac {\binom {5+1-1}{1}\binom {195+1-1}{1}}{\binom {200+2-1}{2}}$$
3. Calcule la probabilidad de que ambos ordenadores sean defectuosos (¿correcto?) $$\frac {\binom {5+2-1}{2}}{\binom {200+2-1}{2}}$$
4. Explica si las tres probabilidades que acabas de calcular deben sumar la unidad o no

La pregunta 4 no la entiendo muy bien.

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Problema (2): ... sin reemplazo.

1. Calcule la probabilidad de que ninguno de los dos ordenadores sea defectuoso $$\frac {\binom {195}{2}}{\binom {200}{2}}$$
2. Calcule la probabilidad de que exactamente un ordenador esté defectuoso $$\frac {\binom {5}{1}\binom {195}{1}}{\binom {200}{2}}$$
3. Calcule la probabilidad de que ambos ordenadores sean defectuosos $$\frac {\binom {5}{2}}{\binom {200}{2}}$$
4. Explica si las tres probabilidades que acabas de calcular deben sumar la unidad o no

Los tres se suman a 1. ¿Deben estos tres sumarse a la unidad debido a su mutua exclusividad y exhaustividad? Por favor, aclare mis pensamientos.

Editado: ¡Muchas gracias por todas las respuestas y comentarios! Mientras tanto se me ocurrió el diagrama de árbol para visualizar las soluciones:

Answer 1

Como dijo @JMoravitz en los comentarios, sus respuestas al segundo problema son correctas.

En el primer problema, el muestreo se realiza con reposición (que no es la mejor manera de comprobar si hay productos defectuosos). Por lo tanto, podemos utilizar el distribución binomial .

La probabilidad de seleccionar $k$ buenos ordenadores y $n - k$ ordenadores malos cuando $n$ los ordenadores se seleccionan con la sustitución es $$\binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$ donde $\binom{n}{k}$ representa el número de pedidos en los que exactamente $k$ los buenos ordenadores pueden ser seleccionados en $n$ ensayos, $p$ es la probabilidad de que se seleccione un buen ordenador, y $1 - p$ es la probabilidad de que se seleccione un ordenador defectuoso.

Se seleccionan dos buenos ordenadores: Utilizando la fórmula anterior con $n = k = 2$ y $p = 195/200$ produce $$\binom{2}{2}\left(\frac{195}{200}\right)^2\left(\frac{5}{200}\right)^0 = \left(\frac{39}{40}\right)^2$$

Se seleccionan un ordenador bueno y otro defectuoso: Utilizando la fórmula anterior con $n = 2$ , $k = 1$ y $p = 195/200$ produce

$$\binom{2}{1}\left(\frac{195}{200}\right)^1\left(\frac{5}{200}\right)^1 = 2\left(\frac{39}{40}\right)\left(\frac{1}{40}\right)$$

Se seleccionan dos ordenadores defectuosos: Utilizando la fórmula anterior con $n = 2$ , $k = 0$ y $p = 195/200$ produce

$$\binom{2}{0}\left(\frac{195}{200}\right)^0\left(\frac{5}{200}\right)^2 = \left(\frac{1}{40}\right)^2$$

Dado que los tres eventos descritos anteriormente son mutuamente excluyentes y exhaustivos, sus probabilidades deben sumar $1$ que debería comprobar.