¿Subconjunto de$\mathbb R^n$ homeomórfico a esfera?

Question

Permita que$C$ sea un subconjunto de$\mathbb R^n$ con las siguientes propiedades unidas a él:

• Convexo
• Compacto
• Interior no vacío

¿Es el límite de$C$ homeomorfo a la bola de la dimensión$n-1$? ¿Por qué?

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Deje $O$ ser un punto interior de a $C$. Luego de la proyección central $f\colon\partial C\to S^{n-1}$ a lo largo de los rayos que terminan en $O$ resulta ser un homeomorphism: Por la convexidad de $C$, $f$ es inyectiva. Debido a $C$ es acotado, $f$ es también surjective. Sigue siendo para demostrar que tanto $f$ y su inversa son continuas. Para $f$ sí, esto está claro (que el uso de una bola abierta en torno a $O$ no se cruzan $\partial C$). Por la inversa, el argumento también es bastante fácil (el uso de la convexidad y abrir de nuevo un balón $\subset C$$O$).

Answer 2

Este es un hilo viejo, pero resucitando en aras de la inclusión de más de detalle. Comenzamos con un lexema.

Lema. Deje $E$ ser un subconjunto compacto de un metrix espacio de $X$. A continuación, $\partial E$ es compacto.

Prueba. Desde $E^\circ$ está abierto en $X$, también está abierto en $E$. Desde $E$ es compacto, $E$ es cerrado, y $E = \overline{E}$. Por lo tanto $\partial E = \overline{E}\,\backslash\, E^\circ = E \,\backslash\, E^\circ$, lo $\partial E$ es cerrado como un subconjunto de a $E$, y por lo tanto compacto. $\square$

Queremos mostrar que si $X = \mathbb{R}^n$ $E$ es un compacto convexo subconjunto con los no-vacío interior, a continuación, $\partial E$ es homeomórficos a la esfera $\{(x_1, \dots, x_n) \text{ }|\text{ }\sum_{i=1}^n x_i^2 = 1\}$.

Podemos suponer que la $0 \in E^\circ$ ya que el problema es la traducción invariante. Deje $u$ ser un vector unitario. Nos muestran que no hay una única $s_u$ tal que $s_uu \in \partial E$; de hecho, tome $s = \sup\{t\text{ }|\text{ }tu \in E\}$. Está claro que $s_u \in \partial E$, y también es claro que si $t > s_u$ $tu \notin \partial E$ desde $\partial E \subset E$ como se ve en la prueba del lema. Para cualquier $u$, $s_u > 0$ desde $0$ es interior a $E$, e $s_u < \infty$ porque $E$ está acotada. Ahora, si $t = (1-\lambda)s_u$$0 < \lambda < 1$, e $N_\epsilon(0) \subset E$, luego por la convexidad de $E$, $N_{\lambda \epsilon}(tu) \subset E$, por lo $tu \notin \partial E$. Por lo tanto $F(u) = t_uu$ es un bijection desde allí esfera a $\partial E$. Ahora, $F^{-1}$ es la restricción a $\partial E$ de los map $x \mapsto x/|x|$ que es continua en a $\mathbb{R}^n \,\backslash\,0$. Por lo tanto $F^{-1}$ es un continuo bijection de $\partial E$ a la esfera, y desde $\partial E$ es compacto por el lema, $(F^{-1})^{-1}$ es también continua.