Cualquier potencia de un ciclo de longitud primo es un ciclo

Question

Tener algunas dudas demostrando el ejercicio de la declaración de Pinter del libro. Aquí la cita:

Deje $\alpha $ ser un ciclo de longitud $s$, decir $\alpha = ( a_1, a_2 ... a_s )$. Demostrar que, si $s$ es un número primo, cada poder de la $\alpha$ es un ciclo.

Sé bien que el poder $k$ de ciclo de longitud $k \cdot t$ es un producto de $k$ ciclos disjuntos de longitud $t$. El primer número de la longitud no va a dejar que esto suceda con cualquier poder. Pero no estoy seguro de si alimentar el ciclo de un divisor de que su longitud es la única manera de romper el ciclo de distancia.

Gracias por su atención.

Answer 1

El reclamo es un poco incorrecto. La reclamación correcta es:

La permutación $\beta = \alpha^k$ es un ciclo si y sólo si $s$ no divide $k$.

Claramente, si $s$ divide $k$, $\alpha^k$ es la identidad de permutación, y por lo tanto no es un ciclo. Ahora en el otro sentido, asumen $s$ no divide $k$. Esto es suficiente para mostrar que para cada una de las $t \in \{ 1, 2, \ldots, s \}$, existe un $i$ tal que $\beta^{i}(a_1) = a_t$; es decir, $\alpha^{ki}(a_1) = a_t$. Pero esto sucede si y sólo si $$ ki \equiv t-1 \pmod s. $$

Asumiendo $s$ no divide $k$, ya que el $s$ es un número primo, $k$ tiene un inverso multiplicativo $k^{-1}$ modulo $s$. Ahora recogiendo $i = k^{-1} \cdot (t-1)$ le da lo que queremos.