Derivado de un mapa que implica la matriz inversa

Question

Tengo% #%,$f: U\rightarrow \mathbb{R}$,$f(X):=\operatorname{tr}(X^{-1})$ contiene todas las matrices$U$, que son definidas positivas y simétricas. Quiero mostrar que$X$ es diferenciable en$f$.

Para ello, tengo que averiguar$U$ Ahora es:$f(X+tY)=\operatorname{tr}[(X+tY)^{-1}]=\operatorname{tr}[ (X(I-(-t)X^{-1}Y))^{-1}]$. Este es el punto donde me quedo atascado. El primer término de la serie se desvanece con$(X(I-(-t)X^{-1}Y))^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty}(-t)^{i}(X^{-1}Y)^{i}X^{-1}$, cuando se trata de la derivación. Pero, ¿cómo puedo arreglar el resto?

Answer 1

$g:\begin{array}{ll}S_n^{++}\left(\Bbb R\right)\to S_n^{++}\left(\Bbb R\right)\\ X \mapsto X^{-1}\end{array}$

$h:\begin{array}{ll}S_n^{++}\left(\Bbb R\right) \to \Bbb R\\X\mapsto \operatorname{Tr}(X)\end{array}$

$f=h\circ g$

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Deje $H\in M_n\left(\Bbb R\right)$, de modo que $I_n+H\in S_n^{++}\left(\Bbb R\right)$ $\left\|H\right\|< 1$

$g(I_n+H)=(I_n+H)^{-1}=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}(-H)^k=I_n-H+\sum\limits_{k=2}^{+\infty}(-H)^k$

$\left\|g(I_n+H)-(I_n-H)\right\|=\left\|\sum\limits_{k=2}^{+\infty}(-H)^k\right\|\le \sum\limits_{k=2}^{+\infty}\left\|(-H)\right\|^k=\cfrac{\|H\|^2}{1-\left\|H\right\|}$

$\cfrac{\left\|g(I_n+H)-g(I_n)-(-H))\right\|}{\|H\|}=\cfrac{\|H\|}{1-\left\|H\right\|}\underset{\left\|H\right\|\to 0}{\longrightarrow}0$

Por lo $g$ es diferenciable en a $I_n$ $D_{I_n}(H)=-H$

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Deje $X\in S_n^{++}\left(\Bbb R\right)$

Deje $H\in M_n\left(\Bbb R\right)$, de modo que $X+H\in S_n^{++}\left(\Bbb R\right)$ $\left\|H\right\|< \cfrac{1}{\|X^{-1}\|}$ (de modo que $\|X^{-1}H\|\le \|X^{-1}\| \|H\| <1$). Tenga en cuenta que estoy usando el operador de la norma para obtener $\|X^{-1}H\|\le \|X^{-1}\| \|H\|$ (y yo no puedo hacer eso, porque el espacio es finito dimensionales de modo que todas las normas son equivalentes).

$\begin{array}{ll}g(X+H)&=g(X(I_n+X^{-1}H))\\&=(X(I_n+X^{-1}H))^{-1}\\&=(I_n+X^{-1}H)^{-1}X^{-1}\\&=(I_n-X^{-1}H+o(H))X^{-1}\\&=X^{-1}-X^{-1}HX^{-1}+o(H)X^{-1}\end{array}$

$\cfrac{\|g(X+H)-g(X)-(-X^{-1}HX^{-1})\|}{\|H\|}=\cfrac{\|o(H)X^{-1}\|}{\|H\|}\underset{\left\|H\right\|\to 0}{\longrightarrow}0$

Por lo $g$ es diferenciable en a $X$ $D_X(H)=-X^{-1}HX^{-1}$

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$h$ es lineal y, por tanto, el diferencial, su derivado el ser mismo.

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Ahora solo uso la regla de la cadena y tienes el resultado.

Answer 2

Este es un argumento más corto. Menos riguroso, pero es fácil de seguir.

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