¿Existe un homomorfismo de grupo onto de $\Bbb Q$ a $\Bbb Z$ ?

Question

Estoy aprendiendo los homomorfismos de grupo. Tengo dos preguntas:

1. ¿Existe un homomorfismo de grupo onto de $\Bbb Z$ a $\Bbb Q$ ?
2. ¿Existe un homomorfismo de grupo onto de $\Bbb Q$ a $\Bbb Z$ ?

Tengo la respuesta de la primera.

1. $\Bbb Z$ es cíclico y la imagen homomórfica de un grupo cíclico es cíclica pero $\Bbb Q$ no lo es.
2. Estoy atascado aquí. Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Su respuesta a la primera pregunta es correcta.

Para la segunda pregunta, supongamos que existe un homomorfismo onto $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$ . Entonces existe algún $q \in \mathbb{Q}$ tal que $f(q) = 1$ . Pero entonces, $x = f(q/2)$ es un número entero que satisface $$2x = x+x = f(q/2) + f(q/2) = f(q/2 + q/2) = f(q) = 1,$$ que es imposible. Por lo tanto, no hay tal $f$ .