Deje $f$ ser un almacén de la analítica de la función en la mitad derecha del plano tales que $f(x) \to 0, x\to 0$ a lo largo del eje real positivo. Supongamos $0<\phi<\pi/2$. Demostrar que $f(z) \to 0, z \to 0$ uniformemente en el sector de la $|\arg z|\le|\phi|$.
Comentario: yo creo que no puede ser demostrado por el teorema de Montel como en uno de la respuesta. Estoy leyendo el Capítulo VI GTM 11 de Funciones de una Variable Compleja. Y un corolario de Phragmén-Lindelöf Teorema (cf página 139) es similar a mi pregunta. El corolario de los estados que
Corolario Supongamos que f es analítica en $G=\{z:|\arg z|\le\pi/2a\}$ y existe una constante tal que $\limsup_{z\to w}|f(z)|\le M$ todos los $w\in \partial G$. Si existen constantes positivas $P$ $b<a$ tal que $$|f(z)|\le P \exp(|z|^b)$$ then $|f(z)|\le M$ on $G$.
La prueba del corolario es sólo el uso de la Phragmén-Lindelöf Teorema de con $\phi(z)=\exp(-z^c)$.
