¿Cómo probar no puede existir un conjunto$A$ de enteros positivos que satisfacen las dos condiciones

Question

Pregunta:

Mostrar que no puede existir un conjunto$A$ de enteros positivos tales que las siguientes dos condiciones se mantienen:

(1) Para cada número entero$m>1$, existe$a,b\in A$ such$a+b=m$.

(2) Si$a,b,c,d\in A$,$a,b,c,d>10$ y$a+b=c+d$, tenemos$a=c$ o$a=d$.

Mi idea: Supongamos que existe tal conjunto$A$, y vamos$A(n)=|A\bigcap [1,n]|$.

Entonces por condición$(1)$, tenemos$$\binom{A(n)}{2}\ge n-1 \Longrightarrow A(n)>\sqrt{2n}$ $ pero no puedo usar la condición$(2)$.

Answer 1

$\color{blue}{(2)}$ indica que$A_{\geq 10}$ es un conjunto de Sidon (también conocido como regla de Golomb ), y un teorema de Erdos y Turan indica que$$ S(n)\leq \sqrt{n}+O\left(n^{1/4}\right)\tag{A}$ $ es válido para cualquier conjunto de Sidon$S$ $A(n)\leq 10+\sqrt{n}+O(n^{1/4})$. Sin embargo, la última desigualdad contradice$$ A(n)\geq\sqrt{2n}\tag{B}$ $ que es una consecuencia de$\color{blue}{(1)}$.