Grupos topológicos en el círculo $S^1$

Question

En el círculo $S^1$ existe el habitual grupo del círculo es decir, el grupo isomorfo a $\{e^{i\varphi}\mid \varphi\in[0,2\pi)\}$ con la multiplicación compleja como operación de grupo. Este grupo es un grupo topológico en el sentido de que $S^1$ es un espacio topológico y la operación de grupo y la inversa son continuas.

Pregunta: ¿Existen otros grupos topológicos en $S^1$ esencialmente diferente del grupo del círculo, suponiendo $S^1$ con la topología estándar? ¿Qué pasa con otros grupos topológicos abelianos?

Mi pregunta estaba motivada por este otro puesto. El grupo descrito allí resultó ser el de siempre.

Dos notas:

• Busco grupos en los que participen todos los $S^1$ y no sólo un subconjunto. Especialmente no hay subgrupos del grupo del círculo.
• Busco grupos no es isomorfo al grupo del círculo.

Answer 1

Es un teorema que dos estructuras topológicas de grupo cualesquiera sobre $S^1$ son isomorfos, y de forma similar para el $n$ -toro $(S^1)^n$ , $n \ge 1$ : cualquier estructura de grupo topológico compacto sobre el $n$ -es isomorfo al estándar.

He aquí una prueba de alto nivel citando dos teoremas.

Uno es el teorema citado en la respuesta de Francesco Pollizi a esta pregunta de MathOverflow cualquier abeliano compacto Grupo de Lie de dimensión $n$ es isomorfo a $(S^1)^n$ .

El otro teorema es la solución del 5º problema de Hilbert de Gleason, Montgomery y Zippin: todo grupo topológico que es un colector tiene una estructura suave que lo convierte en un grupo de Lie.

Ahora, mi opinión es que para el caso de $S^1$ Probablemente exista una demostración elemental de este teorema, quizás incrustada en algún lugar como ejemplo en la literatura de grupos topológicos, pero no lo sé.

Answer 2

Aunque la respuesta de Lee Mosher es correcta, es una exageración. Supongamos que $G$ es un grupo topológico homeomorfo a $S^1$ . Desde $G$ es compacto, no es necesario citar la solución de Hilbert-V: El Teorema de Peter-Weyl (que es mucho más simple) implica que cada grupo topológico compacto admite una representación lineal fiel de dimensión finita y, por tanto, es un grupo de Lie (teorema de Cartan). Dado que el álgebra de Lie ${\mathfrak g}$ de $G$ es unidimensional, es conmutativo. Por lo tanto, $\exp: {\mathfrak g}={\mathbb R}\to G$ es un homomorfismo (necesariamente un epimorfismo), por tanto, $G$ es isomorfo a $U(1)$ .