Desaparición de la cohomología local $\operatorname{H}^1_J(\Gamma_I(M))=0$

Question

Sea $M$ un módulo sobre un anillo noetheriano $R$ tal que $\operatorname{H}^1_I(M)=0$ para todo ideal $I$ de $R$. Demuestra que $\operatorname{H}^1_J(\Gamma_I(M))=0$ para todo ideal $J$.

Intenté demostrarlo utilizando la sucesión de Mayer-Vietoris pero lamentablemente no pude. También apliqué las siguientes sucesiones $$0\rightarrow \Gamma_I(M)\rightarrow M\rightarrow D_I(M)\rightarrow 0 $$ $$0\rightarrow \Gamma_I(M)\rightarrow M \rightarrow M/\Gamma_I(M)\rightarrow0 .$$ Además, dado que $\operatorname{H}^1_I(M)=0$ para cada ideal $I$ de $R$, entonces la Proposición 4.1.3 de Brodmann-Sharp, Local Cohomology, sugiere que $\operatorname{H}^i_I(M)=0$ para todo $i\geq 0$.

Antecedentes: $D_I(M)$ significa transformada ideal con respecto a $I$ y la primera sucesión exacta se obtiene del Teorema 2.2.4(i)(c) en el mismo libro.

Answer 1

Esbozo de la prueba:

Sea $J=(x_1,\dots,x_n)$. Si $J\subseteq I$ entonces se concluye. Supongamos $J\nsubseteq I$, por lo tanto $\exists x\in J-I$. Por 4.1.22 del mismo libro tenemos la siguiente secuencia exacta $$0‎\rightarrow‎ \Gamma_{I+x}(M)‎\rightarrow‎\Gamma_I(M)‎\rightarrow‎ \Gamma_I(M_x)‎\rightarrow‎ 0=H^1_{I+x}(M).$$ Aplicando $\Gamma_J(-)$ obtenemos $$ \cdots‎\rightarrow‎ \Gamma_J(\Gamma_I(M_x))‎\rightarrow‎ H^1_J(\Gamma_{I+x}(M))‎\rightarrow‎ H^1_J(\Gamma_I(M))‎\rightarrow‎ H^1_J(\Gamma_I(M_x))‎\rightarrow‎\cdots $$ Ahora utilizamos el Teorema de la Independencia $$\Gamma_J(\Gamma_I(M_x))\cong \Gamma_J(\Gamma_{I_x}(M_x))\cong \Gamma_J(\Gamma_I{(M )})_x\cong \Gamma_{J_x}(\Gamma_I(M))_x=0. ~ (Ya que~ x\in J)$$ $$H^1_J(\Gamma_I(M_x))\cong H^1_J(\Gamma_{I_x}(M_x))\cong H^1_J(\Gamma_I{(M )})_x\cong H^1_{J_x}(\Gamma_I(M))_x=0.~ (Ya que~ x\in J)$$ Por lo tanto $H^1_J(\Gamma_{I+x}(M))‎\cong‎ H^1_J(\Gamma_I(M))$. Continuando como antes tenemos $$H^1_J(\Gamma_I(M))\cong H^1_J(\Gamma_{I+J}(M))‎=0. ~(Ya que~ J\subseteq I+J)$$