si $a, b$ pertenecen al complejo con $|a|=|b|=1$ y $|a+b|=2$ demostrar que $a=b$

Question

He tropezado con esta pregunta:

Si $a$ y $b$ son números complejos con $|a|=|b|=1$ y $|a+b|=2$ . Demostrar que $a=b$ .

Intenté hacerlo utilizando el hecho de que puedo escribir a y b como $a= c+zi$ y $b= d+xi$ y cuando usé las dos condiciones anteriores obtuve $|a+b|=2(c^2-d^2) 2cd-2zx =2$ pero no sé cómo seguir adelante. ¿Podría intentar ayudarme?

Answer 1

Dejemos que $a=\cos\alpha+i\sin\alpha$ y $b=\cos\beta+i\sin\beta$ , donde $\{\alpha,\beta\}\subset[0,2\pi)$ .

Así, $$(\cos\alpha+\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2=4$$ o $$\cos(\alpha-\beta)=1$$ o $$\alpha=\beta.$$ ¡Hecho!

Answer 2

Sugerencia extendida. $$\;4 = |a+b|^2 = (a+b)(\bar a + \bar b) = |a|^2+ a \bar b + \bar a b + |b|^2 = 2 + a \bar b + \bar a b \implies a\bar b+ \bar a b - 2= 0$$

Pero $|a|=1 \iff \bar a = 1/a$ y lo mismo ocurre con $b$ Así que $a/b + b/a - 2 = 0 \iff (a-b)^2=0\,$ .

Answer 3

$|a+b|^2=|a|^2+a\bar{b}+b\bar{a}+|b|^2=a\bar{b}+b\bar{a}+2$

Así, $a\bar{b}+b\bar{a}=2$

Tenga en cuenta que $a\bar{a}=b\bar{b}=1$

A partir de esto tenemos $\bar{a}=\frac{1}{a}$ y $\bar{b}=\frac{1}{b}$

Así, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2\Rightarrow ab(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})=2ab \Rightarrow(a-b)^2=0 \Rightarrow a=b$

También puedes probar tu resultado usando:

$$a=e^{i\theta_1}$$ $$b=e^{i\theta_2}$$

Answer 4

por la desigualdad del triángulo obtenemos $$|a+b|\le |a|+|b|$$ ya que tenemos $$|a|=|b|=1$$ obtenemos el signo de igualdad y por lo tanto obtenemos $$a=b$$

Answer 5

Piensa en la forma vectorial $$|a+b|=\sqrt{|a|^2+|b|^2+2|a||b|\cos \alpha}\\\to 2=\sqrt{1+1+2.1.1\cos \alpha}\\4=2+2\cos \alpha \\\to\cos \alpha=1 \to \alpha=0 \\so\\|a|=|b|=1 , \alpha=0 \implies a=b$$