Entre qué dos enteros se encuentra $\sqrt{2017}$ ¿caer?

Question

Entre qué dos enteros se encuentra $\sqrt{2017}$ ¿caer?

Desde $2017$ es un primo, no hay mucho que pueda hacer con él. Sin embargo, $2016$ (el número anterior) y $2018$ (el de después) no lo son, así que intenté factorizarlos. Pero eso tampoco funcionó muy bien, porque tampoco son cuadrados perfectos, así que si los multiplico por un número para hacerlos cuadrados perfectos, ya no se acercan a $2017.$ ¿Cómo puedo resolver este problema?

Actualización: Bien, ya que $40^2 = 1600$ y $50^2 = 2500$ , acabo de intentar $45$ y $44$ y resulta que son la respuesta - pero quiero ser más matemático que eso...

Answer 1

$\sqrt{2017}\approx\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\approx 20\cdot 2.236 \approx 45$ y $$44^2 = 1936,\qquad 45^2=2025$$ por lo que $\sqrt{2017}\in\color{red}{\left(44,45\right)}$ .

Answer 2

$44^2 = 1936 < 2017 < 2025 = 45^2$ .

En realidad, no creo que haya mucho que hacer en este caso, excepto "intenta elevar al cuadrado números enteros pequeños hasta que encuentres los correctos".

Answer 3

Podrías utilizar el algoritmo de extracción de raíces para encontrarlo directamente. Es algo así como una división larga.

1. Empezando por el decimal, divide el número en pares de dígitos. Así, $20\,17$ .
2. Encuentra el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que el primer par. $4^2 < 20 < 5^2$ . Este es el primer dígito de la raíz cuadrada.
3. Resta el cuadrado y baja los dos siguientes dígitos. $20 - 4^2 = 4 \Longrightarrow 417$ . Esto es lo que nos queda.
4. Encuentre el mayor $d$ tal que el producto $(20\cdot r + d)\cdot d$ es menor que el resto actual, donde $r$ es la parte de la raíz ya encontrada. $(20\cdot 4 + 4)\cdot 4 < 417 < (20 \cdot 4 + 5)\cdot 5$ Así que $d= 4$ .
5. Añadir $d$ al final de los dígitos ya encontrados, restar el producto del resto actual y bajar los dos dígitos siguientes. Así tenemos 44 para nuestra raíz y $417 - 84\cdot4 = 81 \Longrightarrow 8100$ para nuestro nuevo resto.
6. Repite 4 y 5 hasta que tengas suficientes dígitos o el resto y todas las cifras restantes del número sean cero. Como ahora tenemos suficientes dígitos para la parte entera, podemos parar aquí.

Así que $44 < \sqrt{2017} < 45$ .

Sin embargo, quiero comentar una sugerencia que has hecho.

Sin embargo, 2016 (el número anterior) y 2018 (el posterior) no lo son, así que intenté factorizarlos. Pero eso tampoco funcionó muy bien, porque tampoco son cuadrados perfectos

$2016 = 2^5\cdot3^2\cdot7$ que es divisible por muchos cuadrados perfectos. La división de prueba entre algunos de esos cuadrados perfectos puede dar lugar a un cociente que se acerque a un cuadrado perfecto, lo que permitiría adivinar qué $\sqrt{2016}$ es. $2016 = 2^2\cdot504 = 3^3\cdot224 = 4^2\cdot126 = 6^2\cdot56 = 12^2\cdot14$ . Debemos entonces reconocer $224 \approx 225 = 15^2$ y $126\approx 121 = 11^2$ . Esto da $44^2 < 2016 < 45^2$ , así que claramente $44^2 < 2017 < 45^2$ también.

Answer 4

Pruebe a hacer un gráfico $\sqrt x$ para $x \geq 0$ . Debería ver una curva bastante suave que va hacia arriba, lo que significa que si $a < b$ y ambos son positivos, entonces $\sqrt a < \sqrt b$ .

A partir de esto, está claro que los enteros que quieres son $\lfloor \sqrt{2017} \rfloor$ y $\lceil \sqrt{2017} \rceil$ . Una calculadora nos dice fácilmente que $\sqrt{2017}$ es aproximadamente 44,911, por lo que la respuesta es 44 y 45.

Si realmente quieres hacerlo por factorización de primos, mira los divisores de 2016. Fíjate en que $2016 = 42 \times 48$ . Entonces $43 \times 47 = 2021$ y $44 \times 46 = 2024$ lo que debería sugerir fuertemente que 45 es el mayor de los enteros que estás buscando.

Answer 5

También puede utilizar el menos dígitos significativos para orientarse. Desde $2016 \equiv 16 \pmod{100}$ Si $2016$ es un cuadrado perfecto, entonces $n$ en $n^2 = 2016$ es un número entero que satisface $n \equiv 4, 6 \pmod{10}$ . Claramente $n = 4$ o $6$ es demasiado pequeño.

Entonces, trabajando hacia arriba, obtenemos $(196, 256), (576, 676), (1156, 1296), (1936, 2116)$ los dos últimos corresponden a $44$ y $46$ . Por supuesto $45^2 \neq 2017$ pero tal vez sea $2025$ . Observe entonces que $2116 - 2025 = 91$ y $91$ es el $45$ El número de impar. Igualmente, $2025 - 1936 = 89 = 2 \times 44 + 1$ así que lo comprueba.

Así que la respuesta es $44 < \sqrt{2017} < 45$ .