Si $a,b$ son enteros positivos y $x^2+y^2\leq 1$ entonces encontrar el máximo de $ax+by$ sin diferenciación.

Question

Si $x^2+y^2\leq 1$ y máximo de $ax+by$

Aquí lo que he hecho hasta ahora.

Que $ax+by=k$. Así $by=k-ax$.

Por lo tanto podemos tener que %#% $ #%

$$b^2x^2+(k-ax)^2 \leq b^2$$

Por volver a escribir como una cuadrática de $$b^2x^2+k^2-2akx +a^2x^2-b^2\leq 0 $,

$x$$

$$(a^2+b^2)x^2-2akx +k^2-b^2\leq 0 $ Es positivo, por encima de la cuadrática tiene un mínimo. Así que es negeative debe tener raíces.

Así $a^2+b^2$ $

$$(-2ak)^2-4(a^2+b^2)(k^2-b^2) \geq 0$$ $$a^2k^2-(a^2+b^2)k^2+(a^2+b^2)b^2 \geq 0$$

Es el #% lo máximo de $$(a^2+b^2) \geq k^2$% #%

¿Es esto correcto?

¿Si es correcto cualquier método más corto? Gracias de antemano.

Answer 1

Uso de Cauchy Schwarz Буняко́вський, $|\langle (a,b), (x,y) \rangle| \le \|(a,b)\| \|x,y\|$. Elegir $(x,y)= {1 \over \|(a,b)\|} (a,b)$ muestra la igualdad.

Answer 2

Que $x=r \cos \theta$ y $y=r \sin \theta$ $r \leq 1$ que $x^2+y^2 \leq 1$. A continuación,

$$ax+by=r(a\cos \theta+b\sin \theta)$$

Pero uno puede demostrar que nosotros podemos escribir,

$$a \cos \theta+b \sin \theta=\sqrt{a^2+b^2} \cos (\theta+\phi)$$

$\phi$.

Por lo tanto, $ax+by \leq (1)(\sqrt{a^2+b^2})$.

Answer 3

Podemos resolver esto a través de la geometría,

$$x^2+y^2\le 1$$ es el área delimitada por el círculo con centro en el origen y radio 1

y

$$ax+by=c$$ Es una línea de

Queremos encontrar el valor máximo de c,

Nota: a y b son positivos, de modo que la pendiente es negativa.

Queremos encontrar (x,y) que se encuentra en el círculo y en línea, sino también la línea que nos da la máxima se cortan en el eje y (que es $=\frac{c}{b}$)

Si yo dibuje el círculo, y un par de líneas

En la imagen de arriba vemos que y-se cruzan es máximo cuando la línea es tangente al círculo

El uso de base de coordenadas de los conocimientos, se puede deducir la web de línea que es tangente a un círculo

y a continuación, obtener c.

Answer 4

Usted puede considerar la posibilidad de $$(ax+by)^2+(bx-ay)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)\le a^2+b^2$$ so that $$(ax+by)^2\le a^2+b^2-(bx-ay)^2$$

La igualdad se alcanza cuando $x^2+y^2=1$ $bx=ay$

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¿Cómo puedo obtener la segunda plaza? Bueno, yo quería trabajar con el cuadrado de la expresión de destino y obtener un término en $x^2+y^2$, por lo que necesitaba para intercambiar $a$ $b$ en todo lo que he tenido términos equivalentes en $x$$y$. Entonces yo quería eliminar la cruz de término, por lo que poner el signo menos en conseguirlo.

A veces es útil para recoger la cruz de término y eliminar las plazas por hacer algo como $$(ax+by)^2-(ax-by)^2=4abxy$$ - por ejemplo, en el trabajo con un área representada por la cruz de término.