Demostrar que $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x+2}{x^2+1} = \frac{3}{2}$

Question

Tengo que demostrar el siguiente límite utilizando la definición épsilon-delta:

$$\lim_{x\to 1}\frac{x+2}{x^2+1}=\frac{3}{2}$$

Por lo tanto, ( $\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)[0<\vert x-1\vert<\delta \implies\vert\frac{x+2}{x^2+1}-\frac{3}{2}\vert<\epsilon]$

A continuación se muestra mi trabajo para conseguir el $\delta$ que necesito:

$\vert\frac{x+2}{x^2+1}-\frac{3}{2}\vert\le\vert\frac{x+2}{x^2+1}\vert+\frac{3}{2}=\frac{\vert x+2 \vert}{\vert x^2+1 \vert}+\frac{3}{2}$ (Desigualdad del triángulo)

Pero sé que $x^2+1\ge1$ para todos los valores de $x$ , por lo que puedo decir que $\frac{\vert x+2 \vert}{\vert x^2+1 \vert}+\frac{3}{2}\le\vert x-1+3\vert+\frac{3}{2}\le \vert x-1\vert +3 + \frac{3}{2}<\delta+\frac{9}{2}$

Así que por cada $\epsilon$ Elijo $\delta=\epsilon-\frac{9}{2}$ entonces: $$0<\vert x-1\vert<\delta \implies\vert\frac{x+2}{x^2+1}-\frac{3}{2}\vert \le \vert\frac{x+2}{x^2+1}\vert+\frac{3}{2}\le\vert x+2\vert+\frac{3}{2}\le\vert x-1+3\vert+\frac{3}{2}\le \vert x-1\vert +3 + \frac{3}{2}<\delta+\frac{9}{2}=\epsilon$$

¿Lo estoy haciendo bien? ¿Hay algo malo en suponer que $x^2+1\ge1$ para todos los valores de $x$ ?

Answer 1

Pista:)

Observe que no puede nunca concluir de $$|f(x)-\ell|\leq|f(x)|+|\ell|<\epsilon~~,~~~\ell\neq0$$ obtenida por la desigualdad del triángulo, a limitar el rendimiento.

Answer 2

$\large{\vert\frac{x+2}{x^2+1}-\frac{3}{2}\vert=\vert\frac{2x+4-3x^2-3}{2(x^2+1)}\vert=\vert\frac{(x-1)(-3x-1)}{2(x^2+1)}\vert}$ ¿Puedes llevarlo más lejos?

Answer 3

$|\frac{x+2}{x^2 +1} - \frac{3}{2}| = |\frac{-3x^2 + 2x + 1}{2(x^2+1)}|$

Usando su misma lógica sobre $x^2 + 1$ podemos atarlo desde arriba de esta manera:

$|\frac{-3x^2 + 2x + 1}{2(x^2+1)}| \leq |\frac{-3x^2+2x+1}{2}| \leq |-3x^2+2x+1| = |3x^2-2x-1| = |(3x+1)(x-1)|$

Buscamos cualquier $\delta > 0$ que hará que esta expresión sea menor que $\epsilon$ . Nuestro principal problema aquí es que necesitamos una forma de acotar la expresión $3x+1$ . Podemos hacerlo dejando que $\delta \leq 1$ . Esto se permite porque incluso si podemos encontrar un $\delta > 1$ que funciona, cualquier $\delta$ menos que funcione también. Por lo tanto, si $\delta \leq 1$ entonces:

$|x-1| < 1 \implies -1 < x-1 < 1 \implies 0 < x < 2 \implies 1 < 3x+1 < 7$

Ahora podemos acotar nuestra expresión límite desde arriba. Si $\delta \leq 1$ y $|x-1| < \delta$ entonces:

$|(3x+1)(x-1)| < 7 \delta$

Que es menor que epsilon si $\delta =\frac{\epsilon}{7}$

Puedes pensar que has terminado, y $\delta = \frac{\epsilon}{7}$ . Pero recuerda que nuestra solución dependía de $\delta \leq 1$ . ¿Y qué si $\epsilon = 100$ ? Por ello, debemos tomar el mínimo de 1 y $\frac{\epsilon}{7}$ . Así que la respuesta final es $\delta = \min\{\frac{\epsilon}{7}, 1\}$