$a^2+b=b^{1999}$ Cuántos enteros pares $(a,b)$ hay que satisfacer esta ecuación.

Question

Cuántos enteros pares de $(a,b)$ están allí, que $a^2+b=b^{1999}$

este es el texto original que desgraciadamente no dan mucha información. He encontrado una posible pareja, pero yo no puedo probar que no hay más soluciones, es sobre algo como decidir de qué lado está pares e impares?

Mis intentos;

$a^2=b(b^{1998}-1)$ ahora podemos débilmente decir que $b=b^{1998}-1$, sin embargo, que no me va a dar una solución a todo otro intento de adivinar $(a,b)$ y mi primera conjetura sería $a=0$ $b=\pm1$ pero no puedo llegar a un lugar formal de solución a partir de aquí. ¿Cuáles son sus sugerencias?

Answer 1

$$a^2=b(b^{1998}-1)$$

$(b,b^{1998}-1)=1$ Si $a\ne0$ ambas tiene que ser cuadrado perfecto

Por lo tanto, necesitamos $$b^{1998}-1=d^2\iff(b^{999}+d)(b^{999}-d)=1$$ for some integer $$ %d

Answer 2

Desde $\gcd(b,b^{1998}-1)=1$ sabemos que $b$ es un cuadrado. Así queremos $k^2=b^{1998}-1$. Si $|b|>1$ y $(b^{999})^2>b^{1998}-1>(b^{999}-1)^2$. Así de cuadrado delimitador $|b|\leq1$. Ahora caso bash los casos restantes.