En este problema, se supone que $M$ es orientable. Mi pregunta es: ¿por qué es esto necesario? Es este un error en el libro, o es mi solución equivocada de alguna manera?
18-1 (parafraseado): Supongamos que $M$ es una orientada lisa colector y $\omega$ es un cerrado $p$-forma en $M$.
(a) Mostrar que $\omega$ es exacta si y sólo si la integral de $\omega$ sobre cada liso $p$-ciclo es cero.
(b) Supongamos que el $p$-th singular homología $H_p(M)$ es finitely generado por las suaves $p$-ciclos de $\{c_1,\ldots,c_m\}$. Mostrar que $\omega$ es exacta si y sólo si para cada $i$, $\int_{c_i}\omega = 0$.
Mi solución:
(a) Si $\omega = d\eta$ es exacta, entonces por el teorema de Stokes para cadenas, $\int_c\omega = \int_c d\eta = \int_{\partial c}\eta = \int_0 \eta = 0$, ya que el $\partial c = 0$ cualquier $p$ciclo $c$. Por el contrario si $\int_c \omega = 0$ para cualquier ciclo de $c$, $c \mapsto \int_c\omega$ es $0$ en singular cohomology. Por parte del teorema de de Rham, $\omega$ por lo tanto es cero de de Rham cohomology, por lo $\omega$ es exacta.
(b) Si $\omega$ es exacta, entonces la integral de $\omega$ sobre cualquier $c_i$ es cero por la misma prueba en la parte (a). Por el contrario, si para todos $i$: $\int_{c_i}\omega = 0$, a continuación, por la linealidad $\int_c \omega = 0$ cualquier $p$ciclo $c$, ya que el $c$ se puede escribir como una combinación lineal de los generadores $\{c_1,\ldots,c_m\}$. Por lo tanto, por la prueba de la parte (a), $\omega$ es exacta. $\square$
Observación: el Teorema de 18.12 ("Teorema de Stokes para las Cadenas") en la p.481 de Lee del libro no asume orientability de $M$.
