En la geometría euclidiana, un apeirógono es un polígono degenerado con un contablemente infinito número de lados.

Question

Que $A$ ser un conjunto.

Si $A$ es finito así que es $\mathcal{P}(A)$.

Si $A$ no es finito, entonces tiene un subconjunto infinito numerable $B$, en cual caso $\mathcal{P}(B)$ es innumerables y tan es así $\mathcal{P}(A)$.

¿Puedo decir que dado un arbitrario conjunto de su poder puede ser finito o uncountably infinito pero nunca infinito numerable?

Answer 1

Sí. A la palabra algo diferente, tenemos:

Si $A$ es finito, entonces $\mathscr{P}(A)$ es finito.

Si $A$ es infinito, $\mathscr{P}(A)$ tiene cardinalidad estrictamente mayor que $A$. Esto significa $|\mathbb{N}|\le|A|<|\mathscr{P}(A)|$, lo $\mathscr{P}(A)$ no es countably infinito.

Esto demuestra que no necesitamos el axioma de elección, que se utiliza en su post para encontrar un countably infinito subconjunto de cualquier conjunto infinito (y en la mía, de la misma manera; ver más abajo).

Editar:

Como los comentarios de bof y Noé indican, la reclamación $|\mathbb{N}|\le|A|$ infinitas $A$ utiliza elección de la misma manera como argumento en la OP. De hecho, para probar esto, se encuentra una countably subconjunto infinito y considera que la inclusión del mapa. Lo siento por la gran metedura de pata! Sin embargo bof comentario

Para evitar el axioma de elección, que haría uso de una prueba por contradicción: suponga $|\mathscr{P}(A)|=|N|$,$|A|<|\mathscr{P}(A)|=|N|$, lo $|A|<|N|$, lo $|\mathscr{P}(A)|<|N|$.

indica que la instrucción está siendo cierto, sin elección.