Hace $(\cos t , \sin (\sqrt{2}t))$ huellas todos los puntos de un cuadrado.

Question

La siguiente ecuación paramétrica recientemente a través de mi mente, $$x = \cos (t)$ $ $$y = \sin (\sqrt{2} t)$ $ y la graficación en mi calculadora muestra eventualmente rastros hacia fuera una "Plaza". Lo que estoy preguntando es si esta función realmente recorre todos los puntos dentro de esta plaza $t \in \mathbb{R}$, o algunas regiones como las esquinas nunca llegar.

Answer 1

Sólo llena la plaza "densamente", pero no completamente.

Acaba de tomar cualquier $x$ coordinar que se quiere lograr. A continuación, calcular uno de los correspondientes valores de $t$ que $\cos$ alcanza este valor (es decir,$\arccos(x)$)

A continuación, para cualquier $k$, $t+2\pi k$ tendrá el mismo $x$ coordinar mientras que $\sqrt{2}\times(t+2\pi k) \pmod {2\pi}$ densamente llenar el $[0,2\pi]$ intervalo debido a la irracionalidad, por lo que el cierre es de hecho la unidad de la plaza.

Por otro lado, el punto de $\{1,1\}$ nunca se alcanza. De hecho, para que el punto de ser alcanzado, el valor de $t$ debe $2l\pi$ $x$ a de ser la correcta, y $\frac{\pi+2k\pi}{\sqrt{2}}$ $y$ coordinar la correcta, por lo que necesita $k,l\in\mathbb{N}$ tal que $$\frac{\pi+2k\pi}{\sqrt{2}}=2l\pi$$ que puede ser reformulado para que $$\frac{\pi+2k\pi}{2l\pi}=\frac{1+2k}{2l}=\sqrt{2},$$ lo que estaría en contradicción con la irracionalidad de la $\sqrt{2}$.

Answer 2

Para una fija $x \in [-1,1]$, hay countably muchos $t$ que satisfacen las ecuaciones paramétricas. Deje $T$ denotar valores de $t$. $y$ tiene período de $\sqrt2\pi$.

1. Convencerse de que $T \pmod{\sqrt2\pi}$ es denso en $[0,\sqrt2\pi]$. (1, 2, 3)
2. A continuación, convencer a ti mismo que $\sin \sqrt 2T$ es denso en $[-1,1]$. (límite de desplazamientos con función continua)
3. Sin embargo, convencer a ti mismo que $\sin \sqrt 2T$ sólo ha countably muchos números, mientras que cualquier particular franja vertical de la plaza, tiene una cantidad no numerable de números, por lo que no todos los puntos se alcanzan. (ver el comentario)
4. A la conclusión de que desde $x$ es arbitrario, el conjunto de puntos de $(x,y)$ en el gráfico es denso en $[-1,1]^2$, pero no contiene todos los puntos en $[-1,1]^2$.