¿Rompehielos del personal - es el éxtasis jamás alcanzado?

Question

Ayer en el trabajo teníamos un personal de día, donde se nos pidió para jugar un juego interesante como para romper el hielo.

Nosotros (50 personas) dijeron estar de pie en un círculo y elegir a 2 personas al azar del grupo. Se nos pidió entonces a caminar a un punto, con lo que nos gustaría ser equidistante a esas dos personas. Después de un par de eyerolls, nos pusimos en marcha, pero a diferencia de la mayoría de las expectativas de la gente, el resultado fue bastante fascinante! Hemos encontrado que el grupo como un todo parecía estar en constante movimiento, aunque finalmente lo hicimos llegar a algún tipo de equillibrium.

Esto me puso a pensar, sería una colección de puntos, de esta forma llegan a una posición de estancamiento?

Por supuesto, hay evidencia de que las condiciones bajo las cuales puede haber ningún movimiento en absoluto (por ejemplo, si cada persona que eligió el 2 personas adyacente a él/ella para empezar), pero aparte de estas condiciones poco probables, no tengo idea de si, de forma ilimitada en tiempo de ejecución, la estasis jamás podría lograrse.

En el "juego" hemos logrado como grupo, los participantes se les permitió triangular sus posiciones para lograr la equidistancia. Sin embargo, me gustaría añadir la restricción de que equidistancia en este caso debe significar el plazo más breve posible equidistancia, desde la triangulación añade todo tipo de complicaciones.

También estoy asumiendo que los puntos son infinitesimalmente pequeño, por lo que la colisión no es un problema.

Ok. Así que yo estaba un poco geek, y se fue a casa y hacer un poco de simulación (se imagina a la gente son la celebración de negro paraguas y una antena película fue rodada de los primeros 300 marcos!):

código (mejoras en la ampliación)

Mirando el gif, surgen otras interrogantes, como ¿qué diablos está pasando con esta orden$\rightarrow$caos$\rightarrow$ extraño atractor-tipo de formas? Y, ¿por qué parecen exhibir esto significa que la curvatura de flujo-tipo de comportamiento?

Agregó

Según lo solicitado por @AlexR. he aquí un segundo gif de $k=100$ puntos ralentizado para mostrar lo que sucede entre los cuadros 1 y 100 (como proceso parece empezar a converger a los bucles justo antes de $k$ marcos).

Nota

Código Original fue defectuoso (todo estaba envuelto en manipulate lo que significaba la semilla aleatoria fue cambiando constantemente). Código y gifs ahora actualizado. Las imágenes ciertamente parecen tener más sentido, me parece que el grupo tienden hacia un futuro reformar de nuevo en un círculo, pero esto es sólo especulación. Las mismas preguntas siguen siendo válidas aunque.

Punto de la mecánica

Solo para aclarar (para reiterar el comentario de abajo en respuesta a la pregunta por @Anaedonist), dado un tamaño de paso de 1 unidad (la unidad de círculo alrededor del punto negro), el punto negro se mueve 1 unidad en la dirección del punto medio (azul oscuro) de su correspondiente par (rojo), por lo que su nueva posición es la luz azul de punto (imagen a la izquierda), a menos que el punto medio es en el interior del círculo unitario, en cuyo caso, el tamaño de paso es menor, y la luz azul de punto alcanza el punto medio (imagen a la derecha):

Probablemente debería añadir el requisito de que cada punto debe ser seleccionado (es decir, no hay puntos que no están seleccionadas /impares). Esto simplifica un poco, y probablemente explica la regularidad visto en las imágenes anteriores. También se evita el problema de potencial que se rompe en pequeños sub-grupos. (En la vida real promulgación, esto puede ser remediado mediante la selección de participantes los nombres de un sombrero, o similar).

Una nota sobre la ampliación de la

Desde el código de la actualización, parece que la ampliación tiene un impacto en el punto de comportamiento, issofar como si los puntos son pequeños en comparación con el tamaño de paso (es decir, el círculo unidad dentro de la cual se autoriza el movimiento por fotograma), los puntos de entrar en el extraño estructuras de bucle, como se ve en el gif. Cuanto mayor sea la distancia de los puntos están distribuidos para empezar, la más rápida convergencia a elípticas uniformidad parece ocurrir:

Imagen de la izquierda muestra $k=100$ puntos, a partir de las posiciones dentro del círculo unidad producida con pursuit[#, Floor[Sqrt[#] #], 1] &[100]; mano derecha de la imagen se muestra el $k=100$ puntos, a partir de las posiciones dentro del círculo unidad $\times k \log k$ producido con pursuit[#, Floor[Sqrt[#] #], # Log[#]] &[100].

Probablemente la convergencia de las condiciones de

Su bastante claro que las curvas cerradas de inicio cuando los puntos convergen en el tamaño del paso de la unidad de círculo.

código (largo, pero mucho más transparentes, añadido por la sencilla edición manual) o menos transparente código para cualquier k.

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Este código es más fiel a la verdadera búsqueda de la curva. Aunque no es una verdadera búsqueda de la curva, se imita, y la diferencia se puede ver en las transiciones más suaves:

Comparación con la verdadera búsqueda de la curva:

donde el rojo $=$ la verdadera búsqueda de la curva y azul $=$ imitando la función.

código

Answer 1

No este juego convergen a un punto, suponiendo más pequeño posible equidistancia? Supongamos que no es así. En lugar de ello converge a algún posición de equilibrio L. Entonces, existe un único polígono convexo de unirse a los puntos en el exterior de L. Pero en el siguiente paso , cada uno de estos puntos en el exterior debe moverse dentro de L, por lo tanto L no puede ser un equilibrio.

Me gustaría añadir que creo que el tamaño del paso de la regla debería ser que un punto se mueve siempre un porcentaje de la distancia al punto intermedio de destino, para hacer el proceso más continuo.

Answer 2

Tras la OP explicación en los comentarios, me gustaría añadir algunas consideraciones, dejando en aras de la claridad de mi inicial de las solicitudes de aclaración al final.

Firsty, creo que el algoritmo utilizado para las simulaciones pueden presentar algunas complicaciones en comparación con la descripción dada, como la distancia de paso por cada punto en cada paso de tiempo es limitada por $1$.

Traté de conseguir una simplificado, más manejable descripción, al modelar el problema como un sistema de ecuaciones diferenciales. Denota las coordenadas $(x,y)$ de la $i$-th jugador como $p_i$, y su elegido par $p_k$$p_j$, una ODA tal $$ \dot{p_i} = \gamma \bigg(p_k - p_i + \frac{p_j - p_k}{2} \bigg)$$ podría ser ejecutada para cada una de las $i = 1,2 \dots n$ (donde $n$ es el número total de jugadores) traducir la condición de que un jugador instaneously se dirige hacia el punto medio entre los dos vecinos.

Ajuste de la hora derivados a cero, se verifica que la solución trivial de la cual todos los jugadores colapso que existe un punto.

Como cuestión de hecho, parece intuitivo suponer incluso que $\max_{i,j} {\vert p_i - p_j \vert}$ es exponencialmente de fuga: el "colapsado" configuración será alcanzado en tiempo exponencial, y los jugadores progresivamente a ocupar un lugar cada vez más pequeño de la región del terreno de juego.

Para asegurarse de una descripción matemática es mejor que el del hereinattempted es necesario, permitiendo la solución mediante el cual el $n$ jugadores se sientan en los vértices de un $n$-gon (compatible con las decisiones tomadas por los vecinos): "el principal problema que tengo es cómo definir distancias para permitir que para tal caso.

$ Previous \,\,clarification \,\, request $: Solo tengo algunas preguntas para asegurarse de que entiende esta configuración interesante.

El principal problema es, de la posición de equilibrio alcanzado, a partir de cualquier configuración de jugadores alrededor de un círculo y la elección de la equidistante vecinos hecha por cualquier jugador?

En primer lugar, creo que hay algunas opciones que los jugadores podían hacer, que no puede rendir una configuración de equilibrio. Por ejemplo, en el caso de decir $n = 5$, si el jugador $p_4$ quiere quedarse entre los jugadores de $p_3$$p_5$, y el jugador $p_3$ quiere quedarse entre $p_4$$p_5$, sin configuración de equilibrio puede ser alcanzado (si he entendido tu comentario en el plazo más breve posible equidistancia).

Vamos a suponer por un momento que podemos caracterizar a todos los "compatible" opciones, es decir, opciones iniciales de equidistante vecinos hechas por cada jugador de tal manera que una configuración de equilibrio existe.

Entonces pensé, vamos a ver si esta configuración se logra invirtiendo el juego, es decir, a partir de la configuración de equilibrio y yendo hacia atrás en el tiempo: si podemos comprobar que cualquier partida de configuración es posible (algo parecido "ergodicity"), algunos avances.

En este punto, veo que estoy seguro de qué reglas implementadas para su juego y su (buen) las parcelas.

En cada paso de tiempo, ¿cómo es el movimiento de la $p_i$ jugador definido? Permítanme aclarar con un ejemplo.

En el $k$-ésimo paso de tiempo, la configuración de lecturas de $ 1, 3, 4, 2, 5$ (sentido de las agujas del reloj). Supongamos que el $p_5$ jugador ha escogido $p_3$ $p_2$ como se desee vecinos.

En su simulación, donde se $p_5$ ir? Él puede mover entre el$p_3$$p_4$, o entre el$p_4$$p_2$. También, decidir los movimientos de cada una de las $p_i$ jugador al principio de la $k$-ésimo paso de tiempo, dada la configuración alcanzado en el $k-1$-ésimo paso de tiempo, o hacer que se mueva $p_1$, y, a continuación, decidir los movimientos de los otros jugadores basado en la actualización de la configuración (después de $p_1$ se ha movido)?

Yo estoy lejos de ser seguro que puedo aportar mucho a este problema, pero es divertido pensar. Una vez que la dinámica que utiliza es claro, sería interesante comprobar si la inversa de la dinámica puede ser de alguna manera caracteriza, a partir de la posición de equilibrio.