Estoy luchando con uno de los problemas de la "Topología Diferencial" de Guillemin:
Supongamos que $Z$ es un $l$ -submúltiple dimensional de $X$ y que $z \in Z$ . Mostrar que existe un sistema de coordenadas local $ \left \{ x_{1},...,x_{k} \right \}$ definido en un vecindario $U$ de $z$ de tal manera que $Z \cap U$ se define por las ecuaciones $x_{l+1}=0,...,x_{k}=0$ .
Asumo que la solución debe basarse en el teorema de Inmersión Local, que establece que "Si $f:X \rightarrow Y $ es una inmersión en $x$ entonces existen unas coordenadas locales alrededor de $x$ y $y=f(x)$ de tal manera que $f(x_{1},...,x_{k})=(x_{1},...,x_{k},0,...,0)$ ".
Apreciaría mucho cualquier consejo sobre cómo atacar este problema.
Respuesta
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Encontré respuestas de Henry T. Horton a la pregunta ¿Por qué la matriz de $dG_0$ es $I_l$ . y Augumento, e inyecciones. muy útil para resolver esta cuestión.
Para repetir su pregunta, que se encuentra en el libro de Guillemin & Pallock Topología diferencial en la página 18, problema 2:
Supongamos que $Z$ es un $l$ -submúltiple dimensional de $X$ y que $z \in Z$ . Mostrar que existe un sistema de coordenadas locales { $x_1, \dots , x_k$ } definido en un vecindario $U$ de $z$ en $X$ de tal manera que $Z \cap U$ se define por las ecuaciones $x_{l+1}=0, \dots , x_k=0$ .
Este es mi intento Considere el siguiente diagrama:
$$ \begin {array} AX & \stackrel {i}{ \longrightarrow } & Z \\ \uparrow { \varphi } & & \uparrow { \psi } \\ C & \stackrel {(x_1, \dots , x_l) \mapsto (x_1, \dots , x_l, 0, \dots , 0)}{ \longrightarrow } & C^ \prime \end {array} $$
Desde $$i(x_1, \dots , x_l) = (x_1, \dots , x_l,0, \dots , 0) \Rightarrow di_x(x_1, \dots , x_l) = (I_x, 0, \dots , 0).$$ Claramente, $di_x$ es inyectable, por lo que el mapa de inclusión $i: X \rightarrow Z$ es una inmersión.
Luego elegimos la parametrización $ \varphi : C \rightarrow X$ alrededor de $z$ y $ \psi : C^ \prime \rightarrow Z$ alrededor de $i(z)$ . El mapa $C \rightarrow C^ \prime $ envía $(x_1, \dots , x_l) \mapsto (x_1, \dots , x_l, 0, \dots , 0)$ .
Los puntos de $X$ en un vecindario $ \varphi (C)$ alrededor de $z$ son los de $Z$ de tal manera que $x_{l+1} = \cdots x_k=0$ y esto concluye la prueba.
