La distribución gamma y los procesos de Poisson

Question

Sé que la distribución gamma con parámetros $k$ et $\theta$ puede utilizarse como modelo para la ocurrencia de eventos. El requisito de los sucesos sería que su ocurrencia fuera aleatoria y que el tiempo medio entre ellos fuera igual a $\theta$ y que pertenecen a un proceso de Poisson.

Ahora tengo una pregunta sobre la aplicabilidad de estos:

Quiero modelar un proceso de crecimiento biológico en el que pensamos que la longitud resultante es aleatoria. Lo que sabemos es que los procesos subyacentes (bioquímicos, etc.) son procesos de Poisson. ¿Es apropiado, en el contexto del enunciado anterior, modelar la longitud con una variable aleatoria gamma?

Answer 1

1. El intervalo entre eventos en un proceso de Poisson se distribuye exponencialmente. Si se omiten los intervalos, y sólo se cuenta el k-ésimo evento, entonces se obtiene la convolución de v.r. exponenciales que da la distribución Erlang (que es un caso especial de la distribución Gamma). ¿Es esto lo que querías decir en el primer párrafo?

2. Si su proceso de crecimiento es tal que añade una longitud distribuida Gamma iid cada vez, entonces obtendrá una longitud distribuida Gamma por tiempo (sumas de v.r. Gamma con la misma escala es de nuevo Gamma). Pero esto tiene poco que ver con el proceso de Poisson, me temo.