Establece la probabilidad de que un número aleatorio será el más grande de

Question

Digamos que tengo tres gamas de números:

$$ R: [0.15, 0,26] \\ B: [0.25, 0.34] \\ C: [0.20, 0.35] $$

Si un número fue escogido al azar de la gama de cada juego, ¿cuál es la probabilidad que el número de sistema $A$ será el más grande? ¿De sistema $B$? ¿etcetera?

Answer 1

Cuando se elige al azar y de forma independiente a partir de tres variables aleatorias $A$, $B$, y $C$, después de haber (acumulativa) de las distribuciones de $F_A$, $F_B$, y $F_C$ y las correspondientes funciones de distribución de $f_A$, $f_B$, y $f_C$, entonces, por definición de la independencia de la posibilidad de que los tres números son menos de lo que algunos de valor de $x$ es igual a

$$\Pr(\max(A,B,C) \le x) = F_A(x)F_B(x)F_C(x).$$

Diferenciación con respecto a los $x$ (a través de la regla del producto) da el PDF de los max como

$$f_{\max(A,B,C)} = f_A(x)F_B(x)F_C(x) + F_A(x)f_B(x)F_C(x) + F_A(x)F_B(x)f_C(x).$$

Seguro que se parece a una descomposición correspondiente a $A$, $B$, y $C$. De hecho, el primer término (por definición) nos dice que la probabilidad de que $x \lt A \le x+dx$$B \le x$$C \le x$$f_A(x)F_B(x)F_C(x)dx$. La integración que en todos los $x$ le daría la posibilidad de que $A$ supera tanto en$B$$C$.

En la situación actual, $\int_\mathbb{R} f_A(x)F_B(x)F_C(x)dx = 17/8910 \approx .00191,$, por ejemplo.

La fórmula claramente se generaliza a cualquier número finito de variables aleatorias independientes tener cualquier distribución que usted por favor.