Pregunta difícil congruencia

Question

Sea un primer, $p>5$ $ $$n\triangleq\frac{4^p+1}{5}\;\quad\text{and}\;\quad b\triangleq\frac{n-1}{4}\quad.$

Puede ser demostrado que ambos son números enteros, que $n$ es compuesto, $b$ es curioso y divide a $p$ $b$.

Me gustaría probar que %#% $ #%

Traté de reformulación de la congruencia en términos de las otras variables para ver si podía encontrar una salida mediante la aplicación de Fermat - o incluso de Euler - teorema, pero yo no estoy en ningún lugar.

Answer 1

Mostramos el ligeramente más fuerte $$ 4^b \equiv -1 \pmod{4^p + 1}. $$ Fermat's theorem implies that $4 ^ {p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Since $b = (4^{p-1}-1)/5$, it follows that $p|b$ (since $p > 5 $). Suppose that $b = Xp $. Clearly $b $ is odd, therefore so is $X$. Tenemos $$\begin{align*} 4^{Xp} + 1 &= (4^{Xp} + 4^{(X-1)p}) - (4^{(X-1)p} - 4^{(X-2)p}) + \cdots + (4^p + 1) \\ &= (4^{(X-1)p} - 4^{(X-2)p} + \cdots + 1)(4^p + 1). \end{align*} $$ Here we used the fact that $X $ is odd. It follows that $4 ^ p + 1 $ divides $4 ^ b + 1$.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que $b = \frac{4^{p-1}-1}5$.

Pero es divisible por $4^{p-1}-1$, que $p$ $p|b$.

También, tenga en cuenta que $4^p \equiv -1 \pmod n$, desde $4^p+1 = 5n$.

Así $4^b = (4^p)^{b/p} \equiv (-1)^{b/p} = -1 \pmod n$