Deje $\mathbb{W}$ ser finito dimensionales subespacio interior de un espacio del producto $\mathbb{V}$. Demostrar o refutar las siguientes: el doble complemento ortogonal de $\mathbb{W}$ es igual a sí mismo, o, en otras palabras, $(\mathbb{W}^\perp)^\perp = \mathbb{W}.$
Podríamos comenzar un potencial de prueba de la siguiente manera. Si $\vec{v} \in \mathbb{W}$, $\langle \vec{v}, \vec{w}\rangle = \vec{0}$ para cualquier vector $\vec{w} \in \mathbb{W}^\perp.$ por lo Tanto, por definición, $\vec{v} \in (\mathbb{W}^\perp)^\perp$, y por lo $\mathbb{W} \subseteq (\mathbb{W}^\perp)^\perp.$
Ahora, es fácil demostrar la igualdad si $\mathbb{V}$ es finito dimensionales. Por ejemplo, podemos utilizar el hecho de que $\dim \mathbb{W} + \dim \mathbb{W}^\perp = \dim \mathbb{V}$ que $\dim \mathbb{W} = \dim (\mathbb{W}^\perp)^\perp$, lo que implica el resultado deseado. Sin embargo, en este caso, $\mathbb{V}$ no es necesariamente finito dimensionales y por lo que este paso no es válido.
En el mismo sentido, si se relaja la condición de que $\mathbb{W}$ debe ser finito dimensional, entonces la afirmación es falsa. Deje $\mathbb{V}$ del producto interior en el espacio de todos los polinomios con coeficientes reales bajo del producto interior $$ \langle a_0 + a_1x + \dots + a_n x^n, b_0 + b_1x + \dots + b_k x^k\rangle = a_0b_0 + a_1b_1 + \dots + a_jb_j $$ donde $j$ es la menor de las $n$$k$. A continuación, el subespacio $$ \mathbb{W} = \{ f(x) \in \mathbb{V} \mid f(1) = 0\} $$ de $\mathbb{V}$ ha complemento ortogonal $\{ \vec{0}\}$, lo que muestra que $(\mathbb{W}^\perp)^\perp = \mathbb{V} \neq \mathbb{W}$.
La pregunta, entonces, es: ¿existe un contador de ejemplo donde $\mathbb{V}$ es de infinitas dimensiones, pero el subespacio $\mathbb{W}$ es no? Mi intuición me dice que sí, pero estoy atascado.
