Supongamos que $x$ y $r$ son números reales. ¿Es $|x^r|=|x|^r$? Si es así, ¿cómo usted probarlo en el nivel más bajo? (Es decir, usando las definiciones y teoremas disponibles a nivel K-12. Si esto no es suficiente entonces no dude en subir hasta el nivel correspondiente.)
Respuestas
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Lo siento, no sé qué nivel K-12 medios. Pero la evaluación de $x^r$ real $r$ y negativo $x$ realmente sólo tiene sentido en algunos casos, siempre y cuando se apegue a los números reales. Se tiene sentido si $r$ es un entero positivo, y en este caso la prueba debe ser obvio.
También tienen sentido si $r=p/q$ $p$ un entero positivo y $q$ un entero impar positivo.
En ese caso $x^r$ $q$- ésima raíz de $x$ a la potencia de $p$ y de nuevo, la prueba de la ecuación es fácil.
Si $r$ es de la forma $p$ o $p/q$, $p$ un entero negativo y $q$ un entero impar positivo, la prueba también es fácil.
Edit: Ahora para el caso general, donde entendemos los números complejos, pero sólo permiten a los valores reales de a$x$$r$.
Si no nos limitamos a los números reales, entonces $x^r$ es, en general, no la única, pero es de la forma $e^{r\ln x}$, donde por lo general existen una infinidad de opciones para $\ln x$. Sin embargo, si $r$ es real, entonces $|e^{r\ln x}|$ es realmente único, y es igual a $e^{r\cdot\mbox{Re}(\ln x)}$. Ahora, la parte real de la $\ln x$$\ln|x|$. Esta muestra de inmediato que $|x^r|=|x|^r$.
Adjit
Puntos
172
Vamos a restringir el primer real $x$:
Hay un molestos caso especial que se debe considerar en primer lugar: Si $x=0$, entonces sólo $r>0$ hace sentido matemático, en cuyo caso: $$ |x^r| = |0^r| = |0| = |0|^r = |x|^r.$$
A continuación, suponga $x \neq 0$, y racional $r = p/q$ donde $p$ es un número entero y $q$ es positivo impar de un número entero, por lo que el $x^r$ está garantizado a ser un número real. Recordar, para todos los números reales $x$, es cierto que $|x| = \sqrt{x^2}$.
$$ |x^r| = \sqrt{ (x^r)^2 } = \sqrt{ x^{i\cdot 2} } = \sqrt{ x^{2r} } = \sqrt{ (x^2)^r } = (\sqrt{x^2})^r, $$ donde la última igualdad es sólo porque al $x^2 > 0$. Luego por el mismo truco como en el anterior, $$ (\sqrt{x^2})^r = |x|^r. $$
La misma prueba funciona al $x >0$ $r$ es un número real arbitrario. Todo lo que necesitamos es que el $x^r$ es real.
Espero que esto ayude!
