Funciones continuas de$\mathbb{R}$ a$\mathbb{Q}$

Question

Las siguientes no es una tarea problema. Lo que estoy haciendo para el auto estudio.

Demostrar que toda función continua de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$es constante.

Aquí está mi prueba:

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Q}$ ser una función de este tipo. Primero mostramos que la $\mathbb{Q}$ está desconectado. Deje $p$ ser un número irracional. Entonces podemos escribir $\mathbb{Q}$ $(-\infty,p)\cup (p,\infty)$. $\mathbb{Q}$ es también totalmente desconectado, como cualquier subconjunto abierto de $\mathbb{Q}$ debe contener dos números racionales y hay siempre un número irracional entre los dos que podemos usar para crear una desconexión. Por lo tanto, el único conectado subconjuntos de a $\mathbb{Q}$ son el singleton conjuntos de $\{q\}$ donde $q \in \mathbb{Q}$, que están cerradas.

Vamos a mostrar que el $f(\mathbb{R})$ debe estar conectado. Supongamos que no, entonces $f(\mathbb{R})=U\cup V$ donde $U$ $V$ son no vacías abrir los subconjuntos de a $\mathbb{Q}$ tal que $U \cap V= \emptyset$. Esto implica \begin{align*} \mathbb{R}&=f^{-1}(U \cup V)\\ &=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V), \end{align*} donde $f^{-1}(U),f^{-1}(V)$ son no vacías, nonintersecting subconjuntos de a $\mathbb{R}$. Esto, sin embargo, es una contradicción, como $\mathbb{R}$ está conectado. Por lo tanto, no hay tal conjunto de $U$ $V$ puede existir. Como ya hemos demostrado, la única conectado subconjuntos de a $\mathbb{Q}$ son el singleton conjuntos de $\{q\}$, lo $f(\mathbb{R})$ debe ser de tal conjunto.

Algo acerca de esto no parece muy satisfactoria, como si me estoy perdiendo algo. Podría alguien decirme un error en mi lógica? También, hay una forma más satisfactoria para demostrar este teorema?

Answer 1

Su argumento es correcto. Tal vez lo que es insatisfactoria es que en realidad estás haciendo un argumento que se aplica mucho más general. Parece ser demostrar el siguiente teorema:

Supongamos $X,Y$ son espacios topológicos y $f:X\to Y$ es un mapa continuo. Si $X$ está conectado, a continuación, $f(X)$ está conectado.

Si usted se siente cómodo simplemente citando a esto, luego de que termines de una vez ha demostrado que $\mathbb{Q}$ está totalmente desconectado y $\mathbb{R}$ está conectado: la imagen de $\mathbb{R}$ bajo cualquier mapa continuo debe estar conectado y el único conectado subespacios de $\mathbb{Q}$ son únicos, por lo que la imagen de $\mathbb{R}$ bajo cualquier mapa continuo es un singleton.

Si no, simplemente modificar su argumento para probar el teorema he dicho. La prueba es correcta: desconectar un par de bloques abiertos en la gama se tire hacia atrás para desconectar un par de bloques abiertos en el dominio, dando una contradicción. La única modificación que se necesita es eliminar la referencia a $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ y sustituirlos general de espacios topológicos.

Answer 2

Supongamos que usted sabe que

• Cada función continua de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$es una función continua de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$.
• El teorema del valor intermedio se mantiene.
• El irrationals son densos en $\mathbb{R}$.

A continuación, un no constante función continua tendría que pasar a través de los números irracionales entre dos cualesquiera de sus valores.

Así que supongo que me gustaría preguntar a cuál de los tres puntos ya se habían establecido y que para demostrar como lemas.

Nadie nunca debe escribir "Demostrar que toda función continua de lo que sea a lo que sea constante." Que podría ser entendido como "Pick cualquier función continua de lo que sea para lo que sea y demostrar que es constante", pero lo que es más probable que la intención es "Demostrar que toda función continua de lo que sea a lo que sea constante." Sólo cambiando "cualquiera" a "todos" elimina toda ambigüedad.

Answer 3

La topología en $\mathbb Q$ es la inducida en $\mathbb Q$ como un subconjunto de a $\mathbb R$. Por lo tanto, para cada conjunto abierto $U_{\mathbb R}$ $\mathbb R$ el conjunto $U_{\mathbb Q}=U_{\mathbb R}\cap \mathbb Q$ está abierto en $\mathbb Q$. Si $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Q}$ es continua, la preimagen $f^{-1}(U_{\mathbb Q})$ de cada conjunto abierto $U_{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ está abierto en $\mathbb R$. Pero luego podemos considerar $f$ como una función de$\mathbb R$$\mathbb R$, y por encima de la preimagen de cada conjunto abierto todavía será abierto, por lo que esta es una función continua de $\mathbb R$ $\mathbb R$sólo toma racional de los valores. Ya que hay números irracionales entre dos números racionales, de tal función debe ser constante por el teorema del valor intermedio.