Problema global de máximos y mínimos

Question

Estoy trabajando en un problema que me pide encontrar los extremos locales y globales de la siguiente función.

$$f(x,y) = x^2y^2e^{(-x^2 - 2y^2)}$$

He revisado y encontrado todas las derivadas parciales relevantes.

\begin{align*} f_x &= (2xy^2)(e^{(-x^2 - 2y^2)}) + (x^2y^2)(e^{(-x^2 - 2y^2)})(-2x)\\ f_x &= (e^{(-x^2-2y^2)})(2xy^2 -2x^3y^2)\\ \\ f_y & = (2x^2y)(e^{(-x^2-2y^2)}) + (x^2y^2)(e^{(-x^2-2y^2)})(-4y)\\ f_y &= (e^{(-x^2-2y^2)})(2x^2y-4x^2y^3)\\ \\ f_{xx} &= (e^{(-x^2-2y^2)})(-2x)(2xy^2 -2x^3y^2) + (e^{(-x^2-2y^2)})(2y^2 -6x^2y^2)\\ f_{xx} &= (e^{(-x^2-2y^2)})(-10x^2y^2 + 4x^4y^2 + 2y^2)\\ \\ f_{yy} &= (e^{(-x^2-2y^2)})(-4y)(2x^2y-4x^2y^3) + (e^{(-x^2-2y^2)})(2x^2 - 12x^2y^2)\\ f_{yy} &= (e^{(-x^2-2y^2)})(-20x^2y^2 + 16x^2y^4 + 2x^2)\\ \\ f_{xy} &= (e^{(-x^2-2y^2)})(-4y)(2xy^2 -2x^3y^2) + (e^{(-x^2-2y^2)})(4xy-4x^3y)\\ f_{xy} &= (e^{(-x^2-2y^2)})(-8xy^3 + 8x^3y^3 +4xy - 4x^3y)\\ \end{align*}

Sin embargo, no estoy seguro de qué hacer después de esto. Creía que tenía que poner $f_x$ y $f_y$ igual a 0 pero no sé cómo resolver las ecuaciones que me salen. ¿Puede alguien ayudarme, por favor? ¿He cometido un error al determinar las derivadas parciales?

EDIT: Me he equivocado al calcular las derivadas parciales y lo he editado

Answer 1

Bueno, el mínimo global es obviamente $0$ . En cuanto a la otra parte, sí hay que encontrar los valores de $x$ y $y$ para lo cual $f_x$ y $f_y$ son de combate igual a $0$ . A partir de ahí (esto me resulta bastante difícil de formular, porque el inglés no es mi lengua materna), hay que introducir esos valores en una matriz $$\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$$ y si $D(a,b)>0$ y $f_{xx}(a,b)>0$ entonces el punto $(a,b)$ es un mínimo local de f.

Si $D(a,b)>0$ y $f_{xx}(a,b)<0$ entonces el punto $(a,b)$ es un máximo local de f.

Si $D(a,b)<0$ entonces el punto $(a,b)$ es un punto de silla de f.

Espero que esto ayude $\ddot\smile$ .

Answer 2

Dejemos que $g(x,y) = \ln f(x,y)$ . Tenga en cuenta que, $g(x,y) = 2\ln x + 2\ln y - x^2 - 2y^2$ y $$ \begin{cases} \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{2}{x} - 2x\\ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{2}{y} - 4y\ \end{cases} $$ En la mano de la orden, $$ \begin{cases} \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}\ln f(x,y) = \dfrac{1}{f(x,y)}\dfrac{\partial f}{\partial x}\\ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}\ln f(x,y) = \dfrac{1}{f(x,y)}\dfrac{\partial f}{\partial y} \end{cases} $$ Así, $$ \begin{cases} \dfrac{\partial g}{\partial x} = x^2y^2e^{-x^2 -2y^2}\biggl(\dfrac{2}{x} - 2x\biggr) = 0\\ \dfrac{\partial g}{\partial y} = x^2y^2e^{-x^2 -2y^2}\biggl(\dfrac{2}{y} - 4y\biggr) = 0 \end{cases} $$ En este sistema, los puntos críticos son $(0,0)$ , $(-1,-\frac{1}{\sqrt{2}})$ , $(-1,\frac{1}{\sqrt{2}})$ , $(1,\frac{1}{\sqrt{2}})$ , $(1,-\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

Answer 3

Set $x^2=u,y^2=v$ entonces

$$f(x,y) = g(u,v)=uv e^{-u - 2v}$$

$$\frac{\partial g} {\partial u}=0 \implies (u-1)v=0$$

$$\frac{\partial g} {\partial v}=0 \implies (2v-1)u=0$$

Las soluciones son $u=v=0$ y $u=1,v=1/2$ . el primero es el mínimo global. El segundo es el máximo global.

Answer 4

Lo has hecho:

$$0= (e^{(-x^2-2y^2)})(2xy^2 -2x^3y^2)$$

$$0=(e^{(-x^2-2y^2)})(2x^2y-4x^2y^3)$$

Porque $0 \neq e^{(-x^2-2y^2)}$ :

$$0= 2xy^2 -2x^3y^2$$

$$0=2x^2y-4x^2y^3$$

Tienes dos casos:

1) $x \neq 0$ , entonces a partir de la segunda ecuación $0=y-2y^2$ Así que $y=0$ o $y=\frac{1}{2}$ Así que $(z,0)$ para todos $z$ es un extremo potencial, y para $y=\frac{1}{2}$ de la primera $0=x-x^3$ Así que $x=1$ o $x=-1$ .

2) $x=0$ entonces $(0,z)$ es potencialmente exterminador para todos $z$ .

Answer 5

Otra vía es el cambio de coordenadas. Si el exponente fuera $x^2+y^2$ entonces las coordenadas polares serían obvias; en lugar de esto, utilizamos la parametrización $$(x,y)=\left(r\cos\theta,\frac{1}{\sqrt{2}} r\sin\theta\right)$$ y así obtener $$f(r,\theta) = \frac{1}{2}r^4 e^{-r^2} \cos^2\theta\sin^2\theta=\frac{1}{8}r^4 e^{-r^2}\sin^22\theta.$$ Esto separa $f(r,\theta)$ en partes angulares y radiales que son fáciles de maximizar/minimizar.