Quiero calcular el valor esperado de un billete en un juego de lotería, que le da a los jugadores una probabilidad de $p$ de ganar un premio mayor de $j$ dólares. El número total de entradas en el juego es $t$.
Si cada boleto ganador obtiene el total de la cantidad del premio, el valor esperado de un billete es dado por $jp$. Sin embargo, si los ganadores deben dividido en partes iguales el premio en caso de que haya varios ganadores, entonces el valor esperado depende del número de ganadores $W$.
El número esperado de ganadores es $tp$. La probabilidad de que el número de ganadores $W$$w = 0, 1, 2, \dotsc$, sigue una distribución de Poisson con el número esperado de ganadores como parámetro:
$$P(W=w) \sim Pois(tp) = \frac{tp^we^{-tp}}{w!}$$
No sé cómo llegar desde allí a calcular un preciso valor esperado para el billete como una función del número de entradas en el juego.
En la lectura en línea, he encontrado dos métodos diferentes, cada uno utilizado por varias fuentes. Si estoy siguiendo correctamente, entonces se dan resultados diferentes. Mi pregunta es: 1) cuál es la correcta? 2) ¿cuál es el error en el razonamiento (o en mi comprensión/aplicación) en el método incorrecto?
Método 1: Número de Ganadores
El primer método calcula la probabilidad de que el número de ganadores $W$$w = 0, 1, \dotsc, t$, dado que hay al menos un ganador:
$$P(W=w | W>0) = \frac{P(W>0|W=w)P(W=w)}{P(W>0)}$$
Donde,
- $P(W>0|W=w)$ es $\left\{ \begin{array}{lr} 0 & : w = 0\\ 1 & : w > 0 \end{array} \right.$
- $P(W=w)$ es la probabilidad de $w$ ganadores: $\frac{tp^we^{-tp}}{w!}$
- $P(W>0)$ es la probabilidad de que más de un ganador: $1 - P(W=0)$
Por lo que el valor esperado de la entrada está dada por:
$$p\sum_{w=1}^{t} \frac{j}{w}\frac{P(W=w)}{1-P(W=0)}$$
Para un ejemplo numérico, vamos a tabular los primeros valores de $P(W=w)$ para una lotería con un 1/34,220 oportunidad de ganar \$100,000 jackpot, with 6,000 tickets in play, so $p = 1/34,220; j = 100,000; \text{y } t = 6,000$
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|} \text{Winners} & \text{Probability} & \text{Conditional Probability} & \text{Share} & \text{Contribution } \\ w & P(W=w) & P(W=w|W>0) & j/w & (j/w)P(W=w|W>0) \\ \hline 0 & 0.839 & 0 & \text{\%#%#%0} \\ \hline 1 & 0.147 & 0.913 & \text{\%#%#%91,300} \\ \hline 2 & 0.013 & 0.081 & \text{\%#%#%4,050} \\ \hline \end{array}$$
Sumando la contribución de la columna y multiplicando por $0} & \text{\$ da un valor esperado de $2.79.
Recursos en línea que utilizar el Método 1
- "Powerball Probabilidades" de Durango proyecto de Ley - vea la sección titulada "Ejemplo de Cálculo para Encontrar la Espera Compartida Cantidad de premio mayor, Cuando un Gran Número de Billetes que están en Juego"
- "Yo Soy Un Estadístico y Comprar Billetes de Lotería" por DC Bosque.
- "Es la Pena para jugar a Mega Millions?" por David Torbert
Método 2: Número de Otros Ganadores
El segundo método calcula la probabilidad de que el número total de ganadores de $100,000} & \text{\$$50,000} & \text{\$, teniendo en cuenta que nuestro billete es un ganador:
$p$$
Donde,
- $W$ es la probabilidad de que nuestro boleto es ganador: $w = 0, 1, \dotsc, t$
- $$P(W=w|Winner) = \frac{P(Winner|W=w)P(W=w)}{P(Winner)}$ es la probabilidad de que nuestro billete es un ganador determinado $P(Winner)$ ganar entradas: $p$
- $P(Winner|W=w)$ es la probabilidad de $w$ ganadores: $w/t$
Conectar esas figuras muestra que $P(W=w)$ reduce a $w$:
$\frac{tp^we^{-tp}}{w!}$$
Por lo que el valor esperado es dada por:
$P(W=w|Winner)$$
Utilizando los mismos números de la lotería como en el anterior, el primer par de valores de $P(W=w-1)$ se dan en la tabla siguiente.
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|} \text{Winners} & \text{Probability} & \text{Conditional Probability} & \text{Share} & \text{Contribution } \\ w & P(W=w) & P(W=w|Winner) & j/w & (j/w)P(W=w|Winner) \\ \hline 0 & 0.839 & 0 & \text{n/a} & \text{\$0} \\ \hline 1 & 0.147 & 0.839 & \text{\%#%#%83,900} \\ \hline 2 & 0.013 & 0.147 & \text{\%#%#%7,350} \\ \hline \end{array}$$
Sumando la contribución de la columna y multiplicando por $$\frac{w}{t}\frac{P(W=w)}{p} = \frac{tp^{w-1}e^{-tp}}{(w-1)!} = P(W=w-1)$ da un valor esperado de $2.67.
Recursos En Línea Que Utilice El Método 2
- "Mega Millions y Powerball Probabilidades: ¿Se Puede Esperar un Boleto para ser Rentable?" por Jeremy Elson. Véase, en particular, su "Computación en la Espera de premio mayor: Los Detalles Escabrosos".
- El aceptó la respuesta de las matemáticas.stackoverflow pregunta, "¿Cuál es el valor esperado de un billete de lotería?", da una buena fórmula, que es equivalente al Método 2: $$p\sum_{w=1}^{t}\frac{j}{w}\frac{tp^{w-1}e^{-tp}}{(w-1)!}$
- Mark Adler la respuesta a las matemáticas.stackexchange pregunta "Es Mega Millions Positivo Valor Esperado?"
Claramente las ganancias esperadas para el ejemplo de la lotería de arriba no puede ser \$w$2.67, pero estoy teniendo un tiempo difícil razonar mi camino hacia el método correcto. Todas las sugerencias serán apreciados!
