¿Por qué una matriz positiva definida define un cono convexo?

Question

He estado trabajando en la optimización convexa y se quedó atascado.

¿Qué hace exactamente una positiva definida(p.d) de la matriz representan geométricamente ? ¿qué tipo de espacio vectorial se forma ?

Si tengo un p.d de la matriz, que representan un cono convexo (que no puedo entender por qué), ¿cómo puedo probar la convexidad para que la matriz ? ¿Cuál es la variable de entrada decir que X debe ser ?

Dicen que si tengo un avión, $$W^TX = B$$

al menos sé que debo poner la X en la ecuación, pero para una p.d de la matriz...

es simplemente una matriz, ¿por qué hace que incluso representar una función ?

Estoy totalmente confundido. Cualquier sugerencia, ayuda mucho.

Answer 1

Ok. Deje $P$ ser el conjunto de todos positiva definida la matriz. Im que va a demostrar que si $X,Y\in P$$\alpha,\beta>0$$\alpha X+\beta Y\in P$. Nota \begin{eqnarray} x^{\top}(\alpha X+\beta Y)x &=& \alpha x^{\top} Xx+\beta x^{\top} Yx \nonumber \\ &>& 0\end{eqnarray}

Anteriormente, he utilizado las propiedades algebraicas de la matriz del producto y de la positiva definitiness de $X$$Y$. Con esto se puede concluir que el $\alpha X+\beta Y\in P$

Answer 2

Vamos a tomar un simple positiva definida la matriz a=[1 0 ; 0 1]

x=[x1 x2]

Ahora calcular la x Ax =x1*x1+x2*x2; la plaza término es una función convexa y la suma de los dos es convexa convexa. Usted puede comprobar por el trazado de la función anterior