P implica Q implica P

Question

He estado mirando lo siguiente:

P entails Q implies P

Y desarrolló la prueba como sigue:

1. P
2. Q (Start of new subproof)
2.1 P (By 1)
3 Q implies P by INTRODUCTION OF IMPLICATION 2, 2.1

Sin embargo, aunque tiene sentido en términos de lógica, no consigo entender su significado general.

Para mí, esto es como decir: "Tengo P. Asumiendo que tengo Q, sigo teniendo P. Así que Q debe implicar P".

O: "Está lloviendo. Suponiendo que no tenga paraguas, sigue lloviendo. Así que el hecho de que no tenga paraguas implica que está lloviendo".

¿Esta prueba simplemente afirma que sea cual sea el supuesto, los supuestos de base seguirán siendo válidos, por lo que es trivialmente cierto, o...?

Answer 1

Una buena manera de entender lo que está ocurriendo: Tenemos que $P$ .

Supongamos que tenemos $Q$ y reafirmar lo que sabemos que tenemos: $P$ .

Entonces concluimos que " Si tenemos $Q$ , entonces tenemos $P$ que simbolizamos con $\;Q\rightarrow P$ .

Sucede que en este caso, tenemos $P$ incluso cuando no tenemos $Q$ pero eso no importa, ya que cualquier implicación con un consecuente verdadero (en este caso $P$ ).

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Obsérvese también que a partir de la premisa $P$ podemos deducir $\lnot Q \lor P$ por $\lor$ introducción. Y $\lnot Q\lor P \equiv Q\rightarrow P$ y, de hecho, esa equivalencia puede derivarse si es necesario.

Answer 2

No, es que sólo es válido decir que " $Q \Rightarrow P$ " es falso si $Q$ es verdadera y $P$ es falso. Supongamos que tu amigo te llama y te dice: "Si consigo encontrar un taxi, estaré allí en cinco minutos". Y llega en cinco minutos, pero no en taxi. Ha hecho autostop. ¿Dirías que tu amigo mintió? No, sólo dijo que si coge un taxi, llegaría en cinco minutos. No dijo "si no, no lo haré".

Answer 3

Úsalo: $Q\implies P$ es equivalente a $\neg(Q \land \neg P)$

1. Supongamos que $P$

2. Supongamos que $Q\land \neg P$

3. $\neg P$ (Elim $\land$ , a partir de 2)

4. $P \land \neg P$ (Intro $\land$ , 1, 3)

5. $\neg (Q \land \neg P)$ (Conclusión, a partir de 2, 4)

6. $Q\implies P$ (Equivalencia, a partir de 5)

7. $P\implies (Q\implies P)$ (Conclusión, a partir de 1, 6)