la función de Weierstrass es un ejemplo de una función que es continua, pero en ninguna parte diferenciable, y puede ser visualizado como siendo "infinitamente arrugado". Tengo problemas, sin embargo, imaginar el aspecto que tendría la integral de una función de este tipo. Todas las técnicas que yo sepa para las funciones de aproximación (serie de Taylor, etc.) fallarían en este caso. ¿Cómo puede ser visualizado?
Respuestas
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He trazado la función de Weierstrass$f(x) = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}\cos(3^n\pi x)$ y su primitiva$F(x) = \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{1}{6^n\pi}\sin(3^n\pi x)$. Aquí es lo que parecen:
La primitiva de la función de Weierstrass es bastante suave, es decir, no demasiados cambios bruscos de pendiente. Esto sólo significa que la función de Weierstrass no cambia rápidamente los valores (excepto en algunos lugares).
jmans
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integrales, a diferencia de los derivados, son altamente insensible a pequeños cambios en la función. Ya que cualquier función continua en un intervalo cerrado se puede aproximar así como te gusta por una polinomios (es decir, hay una secuencia de polinomios convergen uniformemente a la función), y puesto que la integral de viajes con el uniforme de los límites (esto es, las instrucciones precisas que la integral es insensible a pequeños cambios), se sigue que la integral de la función de Weierstrass se parece mucho a la integral de un polinomio. Como para la anti-derivada, cuando se pregunta ¿a qué se parece, ¿qué tipo de respuesta esperas? Va a ser una función continua, y sería bastante suave (pero, por supuesto, no muy suave).
DinGODzilla
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La respuesta con las fotos es un gran, pero hay algunas maneras que usted puede acercarse a esta sin herramientas de trazado. Usted debe recordar que todo el proceso de integración lleva de una menor función suave para una más suave de la función, y la diferenciación que hace el contrario.
Es fácil hacer una función que se comporta en un solo punto de la forma en que la función de Weierstrass hace en cada punto. Un ejemplo estándar, tales como $f(x) = x \sin(\frac{1}{x})$ tiene pendientes entre el $(0, f(0))$ $(h, f(h))$ oscila entre los $1$ $-1$ arbitrariamente pequeño $h$. Lo que hace la integral de esta función parecer, cerca de $0$? Usted verá que, mientras que para la función original el valor de la función de los enfoques $0$ y la primera derivada es salvaje, para la integral indefinida el valor de la primera derivada enfoques $0$ y la segunda derivada es salvaje.
No está claro lo que es un 'salvaje' segunda derivada de una función. Intuitivamente que hay puntos donde el gradiente de la curva cambia muy rápido. Sin embargo, estos son muy 'localizada' - el gradiente cambia drásticamente, pero luego cambia de nuevo en la dirección opuesta antes de que el valor de la función se puede ir demasiado lejos. Para conseguir una manija en esta se puede pensar en una aún más simple ejemplo - la función de $f(x) = sgn(x) \sqrt{|x|}$. Este es continua, pero no derivable en 0. Su integral indefinida se ve como una parábola, pero tiene un punto de no-suavidad en 0, donde su derivada segunda saltos. Matemáticamente el comportamiento de aquí es muy diferente de $f(x) = x^2$, que es una parábola, suave en $0$, pero visualmente no es muy evidente. Si usted se imagina lo que está sucediendo cerca de cero el gradiente es 'asentarse' a $0$, como debe ser, pero no tan rápido como debería, para evitar la necesidad de girar más y más rápido. [Imaginar a alguien estacionar un auto en una bahía, pero el tener que girar el volante más y más para conseguir el coche recta antes de llegar a la final del espacio.]
También puede utilizar término por término integración a ver lo que los coeficientes de las $\sin$ componentes de aspecto. Bastante trivial verá que tienden a $0$ muy rápido, y se pueden imaginar lo mucho que estas de forma rápida desaparición de las perturbaciones afectan a la gráfica. Puesto que la función de Lipschitz, la dimensión fractal de la curva es $1$, a diferencia de la gráfica de la Weiestrass función.
Una última observación que puede ser útil para aquellos que tienen algo de teoría de la medida (pero no te preocupes si no). En $L^1$, funciones analíticas son densos. Esto significa que todas las funciones están muy cerca de funciones analíticas en integral. Así que la integral de incluso el más patológica de la función no tiene mucho para distinguirla de algo que es 'bueno' como sea posible.
Los dos últimos párrafos tal vez puede aumentar la imagen de la gráfica de la integral en @JimmyK4542 la respuesta. Hay algunas pequeñas detalle que falta a partir de la gráfica (por supuesto) pero es muy pequeño y sin importancia a la geometría de la gráfica. Buena pregunta btw.
