Deje $X$ ser un esquema que es un noetherian integral separado. En hartshorne del libro, $X \times_\mathbb{Z}\mathbb{A}_\mathbb{Z}$ es también un noetherian integral separado. Comprendo $X \times_\mathbb{Z}\mathbb{A}_\mathbb{Z}$ es un noetherian y separados. Pero no sé que $X \times_\mathbb{Z}\mathbb{A}_\mathbb{Z}$ es integral...
Respuesta
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Necesitamos dos algebraicas simples hechos:
Si $R$ es una parte integral de dominio, a continuación, $R[T]$ es una parte integral de dominio.
Si $R \to S$ es un inyectiva homomorphism, entonces también se $R[T] \to S[T]$ es inyectiva.
Ahora vamos a $X$ ser un esquema integral, es decir, reducido e irreductible. Si $X$ es afín, entonces 1. muestra que $X[T] := X \times \mathbb{A}^1$ es también integral. En general, vamos a $\emptyset \neq U \subseteq X$ libre afín subconjunto. A continuación, $U$ es integral, por lo tanto $U[T]$ es integral. De ser reducido, es un local de propiedad, por lo que ya sabemos que $X[T]$ es reducido. Ahora tenemos que demostrar que el genérico puntos de $U[T]$ donde $\emptyset \neq U \subseteq X$ está abierto afín, son todos de la misma en $X[T]$. Basta comprobar que si $\emptyset \neq V \subseteq U$ es otro abierto afín, a continuación, $V[T] \to U[T]$ conserva el genérico puntos. Pero este es precisamente el 2. Por lo tanto no hay un único punto en $X[T]$ cual es el genérico del punto en $U[T]$ para cada abierto afín $\emptyset \neq U \subseteq X$. Desde estas $U[T]$ cubierta $X[T]$, vemos que este punto es genérico. Por lo tanto $X[T]$ es irreductible.
