Calcular la latitud / longitud media

Question

Tengo la matriz de coordenadas geográficas (latitud y longitud).

¿Cuál es la mejor manera de calcular la latitud y la longitud medias?

Gracias.

Answer 1

Se trata de una cuestión de estadísticas direccionales . Cuestiones similares se plantean con el media de las cantidades circulares .

El método convencional consiste en convertir las latitudes ( $\phi_i$ ) y longitudes ( $\lambda_i$ ) en puntos tridimensionales $(x_i,y_i,z_i)$ utilizando

$$(R \cos \phi_i \cos \lambda_i, R \sin \phi_i \cos \lambda_i , R \sin \lambda_i )$$

entonces toma la media de estos puntos $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ , generalmente dando un punto dentro de la esfera, y luego convirtiendo esta dirección de nuevo a latitud y longitud, usando algo como $$\bar{\phi} = \text{atan2}\left(\bar{y},\bar{x}\right) \text{ and } \bar{\lambda} = \text{atan2}\left(\bar{z},\sqrt{\bar{x}^2+\bar{y}^2}\right). $$

Proporcionalmente a la distancia que el punto medio está dentro de la esfera, es decir $\frac{\sqrt{\bar{x}^2+\bar{y}^2+\bar{z}^2}}{R}$ es un indicador de la dispersión de los puntos originales.

Answer 2

Las variables que mencionas son puntos que pertenecen al colector, que es el círculo. Por lo tanto, no se pueden tratar como si pertenecieran al espacio euclidiano.

También hay que tener en cuenta si calculamos la longitud media y la latitud media por separado o la posición media en la superficie de la esfera. No es lo mismo. Existe, por supuesto, una media intrínseca en la esfera.

Recomiendo el material que he preparado sobre este tema y que hoy comparto en YouTube: Medios circulares - Introducción a la estadística direccional .

Hay dos tipos principales de medios circulares: extrínsecos e intrínsecos.

La media extrínseca es simplemente la media calculada como el centroide de los puntos del plano proyectados sobre el círculo. $$ \bar{\vec{x}}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \vec{x}_j=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N [x_j,y_j]=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N [\cos{\phi_j},\sin{\phi_j}] $$ $$ \hat{\bar{x}}=\frac{\bar{\vec{x}}}{|\bar{x}|} $$ $$ \DeclareMathOperator{\atantwo}{atan2} \bar{\phi}_{ex}=\atantwo(\hat{\bar{x}}) $$ NO es una media calculada con la métrica natural a lo largo del propio círculo.

La media intrínseca, en cambio, sí tiene esta propiedad. Esta media puede obtenerse minimizando la función de Fréchet. $$ \DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin} \bar{\phi}_{in}=\argmin_{\phi_0\in C} \sum_{j=1}^N (\phi_j-\phi_0)^2 $$

Para los datos discretos, también se puede determinar analíticamente el $N$ puntos sospechosos de ser la media y luego compararlos utilizando la función Fréchet.

$$ \bar{\phi}_k=\arg \sqrt[N]{\prod_{j=1}^N e^{i\phi_j} }=\bar{\phi}_0+k\frac{2\pi}{N} $$ Donde la raíz N-ésima es una función de N valores con salidas indexadas con $ k\in\{1,\dots,N\} $ . Se distribuyen uniformemente en el círculo. Y $ \bar{\phi}_0 $ es una media habitual calculada en un rango arbitrario de valores angulares de longitud de $2\pi$ . Si a alguien no le gustan los números complejos $$ \bar{\phi}_k=\frac{1}{N} \left(\sum_{j=1}^N \phi_j+k2\pi\right) $$ El resultado es, por supuesto, el mismo.

Luego hay que comparar los puntos sospechosos de ser la media utilizando la función de Fréchet. $$ \DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin} \bar{\phi}_{in}=\argmin_{k\in\{1,\dots,N\}} \sum_{j=1}^N (\phi_j-\bar{\phi}_k)^2 $$ Cuando la búsqueda del mínimo se agota $N$ índices discretos.