Y las secuencias de Intervalos

Question

Me encontré con otro análisis real problema en mi auto estudio:

Deje $[a,b]$ ser un intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ y deje $(x_n)$ ser cualquier secuencia en la $\mathbb{R}$. Demostrar que $[a,b]$ contiene un número real no es igual a cualquier término de la secuencia.

Creo que tengo que usar el anidado de intervalo teorema:

Teorema. Si $(I_n)$ es una secuencia anidada de intervalos cerrados, entonces la intersección de la $I_n$ es no vacío. En otras palabras, si $I_n = [a_n, b_n]$ donde $a_n \leq b_n$ $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \dots$ y $a = \sup \{a_n: n \in \mathbb{Z}^{+} \}$, $b = \inf \{b_n: n \in \mathbb{Z}^{+} \}$ a continuación,$a \leq b$$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = [a,b]$.

Parece obvio que si sabemos que el intervalo es incontable y la secuencia de conteo. O puedes hacer lo siguiente: elija un elemento arbitrario $x_0$ $(x_n)$ $[a,b]$ (si no hay ninguno, a continuación, se realiza). Por la espesura, no es un número real $\alpha$$a$$x_0$. Si $\alpha$ es en la secuencia de escoger otro número$\alpha_1$$a$$\alpha$. Siga haciendo esto hasta que encuentre un número en la secuencia.

Sería esta idea de trabajo?

Answer 1

Para utilizar el anidada intervalo teorema, se divide el intervalo en tres partes (compact intervalos de la misma longitud). Hay una parte $I_1$ que no contenga $x_1$. A continuación, dividir esta parte en tres partes. Hay una parte de $I_2 \subset I_1$ que no contenga $x_2$ o $x_1$. Hacer esto de forma inductiva consigue una disminución de la secuencia de intervalos de $(I_n)$ tal que $I_n$ no contiene $x_1,...,x_n$. La intersección de estos intervalos es nonvoid, y no contiene ninguno de los elementos de la secuencia.

Answer 2

El intervalo [a,b], como un subconjunto cerrado de R, es un espacio métrico completo . Si la unión de los términos de ${a_n}$ contenidos [a,b], que infrinjan la Categoría de Baire Teorema que establece que un espacio métrico completo no puede ser el contable de la unión de la nada-densos conjuntos; cualquier singleton es nada denso en [a,b]; de hecho, la secuencia como un todo, incluso si converge--es nada denso en [a,b].

Edit: Mi respuesta anterior fue un mal uso (o uso ineficiente) de la gran maquinaria.

Considerar estos dos casos:

1) ${a_n}$ converge, a, digamos, c. Luego hay un pequeño intervalo (c-r,c+r) que contiene a todos-pero-finitely-muchos puntos de ${a_n}$. A continuación, sólo hay finitely-el número de puntos en cada uno de [a,c-r] y en [c+r,b]. Definir la función d($a_n,b_n)=|a_n-b_n|$, en cada uno de estos subintervalos y tiro de condiciones que son iguales el uno al otro. La función alcanza un mínimo m (desde un conjunto finito de puntos es compacto, o simplemente porque el min. de un conjunto finito existe y está bien definido ) después de haber echado los términos entre uno y otro, el valor de m es >0. De ello se desprende que existe una brecha de ancho de al menos m entre los dos términos en la secuencia, y en este vacío que no se llena por cualquiera de los otros términos de la secuencia.

2)${a_n}$ diverge en [a,b]. A continuación, ${a_n}$ no es de Cauchy, por lo que existe algún r>0 con $|a_n-a_m|$>r para todo m,n enteros. Así que hay una brecha en [a,b] no cubiertos por la secuencia de $a_n$