La secuencia y de la Serie - Si $a_n =\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^2nx}{\sin^2x}dx,$.....

Question

Si $\displaystyle a_n =\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^2nx}{\sin^2x}dx, $, a continuación, encontrar el valor de

$$\begin{vmatrix} a_1 & a_{51} & a_{101} \\ a_2 &a_{52} & a_{102}\\ a_3 & a_{53}&a_{103}\\ \end{vmatrix}.$$

Mi planteamiento :

Sabemos que $S_{n+1} - S_{n} = T_n$ donde $S_{n+1} $ es la suma de $n+1$ plazo y $S_n $ es la suma de $n$ términos y $T_n $ $n$th plazo.

Podemos utilizar esta aquí de alguna manera ..... como he utilizado :

$\displaystyle \frac{\sin^2(n+1)x}{\sin^2x}- \frac{\sin^2nx}{\sin^2x} = \frac{\sin^2(n+1)x - \sin^2{nx}}{\sin^2x} $.... ahora, ¿qué hacer más... por favor, sugerir... gracias.

Answer 1

Set $x=y/2$, luego $$a_n=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{\sin^2\frac{ny}{2}}{\sin^2\frac{y}{2}}dy.$$ If $y=-z$, you get that $$a_n=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^0\frac{\sin^2\frac{nz}{2}}{\sin^2\frac{z}{2}}dz\Rightarrow a_n=\frac{1}{4}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin^2\frac{ny}{2}}{\sin^2\frac{y}{2}}dy=\frac{n}{4}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(y)\,dy=\frac{2\pi n}{4},$$ where $F_n$ is the Fejer kernel, which has the property that its integral from $-\pi$ to $\pi$ is $2\pi$. So, your determinant is equal to $$\frac{(2\pi)^3}{4^3}\left|\begin{array}{c c c}1 & 51 & 101\\ 2 & 52 & 102\\ 3 & 53 & 103\end{array}\right|=\frac{(2\pi)^3}{4^3}\left|\begin{array}{c c c}1 & 50 & 101\\ 2 & 50 & 102\\ 3 & 50 & 103\end{array}\right|=\frac{(2\pi)^3}{4^3}\left|\begin{array}{c c c}1 & 50 & 100\\ 2 & 50 & 100\\ 3 & 50 & 100\end{array}\right|=0.$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Como $\displaystyle a_n =\int^{\frac\pi2}_0 \frac{\sin^2nx}{\sin^2x}dx, $

Si $n=1, \displaystyle a_1 =\int^{\frac\pi2}_0 dx=\frac\pi2$

Los demás estamos interesados en $n>1$

$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\int^{\frac\pi2}_0 \frac{\sin^2nx-\sin^2(n-1)x}{\sin^2x}dx$

El uso de $\sin^2A-\sin^2B=\sin(A-B)\sin(A+B),$ $\displaystyle a_{n+1}-a_n=\int^{\frac\pi2}_0 \frac{\sin (2n-1)x}{\sin x}dx=b_n$(decir)

$\implies b_1=\displaystyle a_2-a_1=\int^{\frac\pi2}_0 \frac{\sin x}{\sin x}dx=\frac\pi2$

Ahora, $\displaystyle b_n-b_{n-1}=\int^{\frac\pi2}_0 \frac{\sin (2n-1)x-\sin(2n-3)x}{\sin x}dx$

El uso de $\sin C-\sin D=2\sin\frac{C-D}2\cos\frac{C+D}2, \displaystyle b_n-b_{n-1}=\int^{\frac\pi2}_02\cos(2n-2)dx$

Como $n\ne1,b_n-b_{n-1}=\frac{2\sin(2n-2)}{2n-2}|_0^{\frac\pi2}=0$ $\sin m\pi=0$ por entero $m$

$\implies b_n=b_{n-1}$

Así que si $n>1, b_n=\cdots=b_1=\frac\pi2$

$\implies$ si $n>1, a_{n+1}-a_n=b_n=\frac\pi2$ y tenemos $a_1=\frac\pi2$

Por eso, $a_n=??$ $n>1$