Singularidades racionales para variedades normales

Question

En la página 17 de este documento hay la siguiente afirmación.

Para $f: Y \rightarrow X$ un mapa biracional propio con $Y$ suave (es decir, una desingularización de $X$ ) y $X$ es una variedad normal, $R^i f_* \mathcal{O}_Y = 0$ para $i>0$ equivale a $Rf_* \mathcal{O}_Y \simeq \mathcal{O}_X$ en la categoría de derivados.

No veo por qué esto es cierto. ¿Alguien sabe por qué, o conoce una buena referencia donde pueda encontrar la respuesta?

Pregunta extra: ¿es cierto que para $f: Y \rightarrow X$ un mapa biracional propio con $Y$ suave, que $X$ es normal si y sólo si $f_* \mathcal{O}_Y = \mathcal{O}_X$ ? (pushforward no derivado)

Answer 1

He encontrado una respuesta. La estructura derivada superior no es relevante. Dejemos que $f: Y \rightarrow X$ sea una resolución biracional propia de las singularidades, con $X$ normal. Este problema es local en la base por lo que podemos asumir $X$ es afín.

Desde $f$ es birracional, $\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \subset \text{Frac}(\mathcal{O}_X)$ .

Desde $f$ es propio, el pushforward de la gavilla coherente es coherente, por lo que $\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)$ es un finito $\mathcal{O}_X$ -módulo.

Desde $X$ es normal, un finito $\mathcal{O}_X$ -en su campo de fracciones es él mismo. (Lo contrario también es cierto).