¿Cómo proyecto la superficie de una hiperesfera en el completo volumen de una esfera?

Question

El juego que he mencionado en "Navegar a pesar de que la superficie de un hypersphere en un juego de ordenador" está tomando forma en aquí. El mundo es una 3-esfera donde todo le pertenece. En Euclidiana coordenadas para cada punto de $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1$. Que se mueven los objetos mediante la aplicación de orthornormal transformaciones a ellos.

Llegamos a una etapa en la que se desea dibujar un mini-mapa para ayudar al usuario a navegar a través del espacio, y que es el objeto de esta pregunta. Como utilizamos la proyección estereográfica para obtener la 3-esfera en 3-D en el espacio Euclidiano, ¿cómo podemos proyecto los puntos de la 3-esfera en todo el volumen de un "común" 2-esfera? De esta manera, todos los objetos del mundo podría ser visto en un lugar fresco esfera dibujada en la esquina de la pantalla, a diferencia de este es con la proyección estereográfica, la cual es infinita y algunos puntos pueden faltar en el cultivo.

Teniendo en cuenta cada punto de $P = (x, y, z, w) \; | \; x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1$, necesitamos una función de $t$ donde $t(P) = (X, Y, Z) \; | \; X^2 + Y^2 + Z^2 \leq 1$ $t((0,0,0,-1)) = (0,0,0)$ (el centro de la proyección estereográfica). Cada punto de la 3-esfera con la excepción de $(0,0,0,1)$ debe ser definido. ¿Qué es esta función? No estoy seguro sobre cómo buscar...

Answer 1

Es un juego genial idea. Sin embargo, el mapa que estás buscando no puede ser llamado una proyección estereográfica. La proyección estereográfica de los proyectos de una esfera en un conjunto infinito de avión o, en este caso, el infinito espacio 3-dimensional $R^3$.

Desea compactify el 3-espacio para una 3-bola. Sin embargo, que claramente no es posible si desea conservar los ángulos - que es lo que la proyección estereográfica. Una 3-esfera no es, simplemente, conformemente equivalente a una 3-bola porque este último tiene un límite.

Imagine que usted tiene un mapa de $t(P)$ y usted está pensando en qué puntos de $M$ de la 3-esfera se correlacionan en - o cerca de - el límite de las 3 bolas, la 2-esfera. Claramente, $M$ debe ser algo de singular colector dentro de la $S^3$ que es diffeomorphic a un $S^2$. Los puntos de la 3-esfera en el lado opuesto de la $M$ no se encuentra en la 3-bola, siempre y cuando el mapa es uno-a-uno.

Lo que podría hacer - si desea conservar los ángulos - sería dividir el $S^3$ en la parte superior e inferior del hemisferio, $w>0$ o $w<0$, por ejemplo, y estos dos hemisferios están muy cerca y, naturalmente, se asigna a una 3-bola. En este caso, usted puede utilizar el estándar de la proyección estereográfica y debido a la eliminación del mal hemisferio, el infinito 3-avión se reducen a una 3-bola. Pero usted obtener dos de 3 bolas, no uno.

Alternativamente, usted puede sacrificar la conservación de los ángulos y puede "compactify" el 3-plano de la normal estereográfica proyección por mapeo (usando coordenadas polares) $$(r,\theta,\phi) \to (\arctan r,\theta,\phi).$$ He utilizado arctan porque los mapas de $(0,\infty)$ a un intervalo finito; $\tanh r$ que hacer el trabajo, también. Y hay otros (y más simple) como $r/(1+r)$. Como era de esperar, los ángulos serán severamente distorsionado cerca de la frontera de la 3-bola que se corresponden a las inmediaciones de la quita de los polos de la 3-esfera.