Los axiomas son los siguientes Axiomas de campo. Como pista, considere el problema análogo de mostrar que los axiomas de Campo no implican que $\:1 + 1 \ne 0.\:$ Si la implicación fuera cierta, entonces $1 + 1 \ne 0\:$ sería cierto en todos los ámbitos. Para refutar la implicación basta con encontrar un contraejemplo: un campo con $1 + 1= 0.$ Pero todo el mundo conoce un campo de este tipo, a saber, la Aritmética de la Paridad, es decir, los enteros módulo $2$ que se comprueba fácilmente que satisface todos los axiomas de Campo, utilizando las tablas de operaciones de abajo, por ejemplo, las leyes conmutativas se mantienen porque las tablas de operaciones son simétricas.
$$\begin{array}{rcl} \rm Parity\ Arithmetic & &\rm\!\!\! modulo\ 2 \\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline + & \bf\text{even} &\rm\bf odd\\\hline \bf\text{even} & \text{even} & \text{odd}\\\hline \rm\bf odd & \text{odd} &\rm even\\\hline \end{array} \!\!\!\!\!\!\!& \iff &\!\!\!\!\!\!\! \begin{array}{|c|c|c|}\hline + & \bf 0 & \bf 1\\\hline \bf 0 & 0 & 1\\\hline \bf 1 & 1 & 0\\\hline \end{array} \\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline \times & \bf\text{even} &\rm odd\\\hline \bf\text{even} & \text{even} & \text{even}\\\hline \rm\bf odd & \text{even} &\rm odd\\\hline \end{array} \!\!\!\!\!\!\!& \iff &\!\!\!\!\!\!\! \begin{array}{|c|c|c|}\hline \times & \bf 0 & \bf 1 \\\hline \bf 0 & 0 & 0\\\hline \bf 1 & 0 & 1\\\hline \end{array} \end{array} $$
Su problema es más sencillo ya que un contraejemplo tiene $\:1 = 0,\:$ por lo que $\rm\: x = 1\cdot x = 0\cdot x = 0,\:$ es decir, cada elemento $= 0,\:$ por lo que la estructura sólo tiene el único elemento $0.\:$ El axioma de las inversiones se satisface de forma vacía, ya que no hay elementos no nulos para comprobar las inversiones. Todos los demás axiomas son universales, es decir, identidades como $\rm\:\forall\, x,y\!:\ x+y = y + x,\:$ y se mantienen para todos los elementos simplemente porque sólo hay un único valor $\:0\:$ para que las operaciones se realicen, por lo que sólo puede evaluarse a $\:0 = 0\:$ (vs. posiblemente $\rm\:1 = 0\:$ al verificar el campo de dos elementos anterior), consulte las tablas de operaciones siguientes.
$$\rm\begin{array}{} Null\ Arithmetic\ (mod\ 1)\\ \begin{array}{|c|c|}\hline + & \bf 0 \\\hline \bf 0 & 0 \\\hline \end{array}\quad \begin{array}{|c|c|}\hline * & \bf 0 \\\hline \bf 0 & 0 \\\hline \end{array} \end{array} $$
