¿Por qué no hay anomalía cuando la partícula mecánica es cuantificada?

Question

Sabemos que si una o más de las simetrías de la acción de un clásico de la teoría del campo es violada en su versión cuantizada de la correspondiente teoría cuántica se dice que la anomalía.

1. Es esta una sola característica de la cuantización de un campo de la teoría? Si sí, ¿por qué es que las anomalías aparecen sólo después de la cuantización de un campo de la teoría pero no en la ordinaria de la mecánica cuántica no relativista?

En la teoría de campo, si en virtud de una arbitraria simetría transformación de $\phi\rightarrow \phi^\prime=\phi+\delta\phi$, la acción $S[\phi]$ se deja invariante, tenemos una simetría en la clásica teoría de campo. Pero tenemos una simetría de la teoría cuántica de campos, si la transformación de las hojas de la ruta integral de la $\int\mathcal{D}\phi \exp(\frac{i}{\hbar}S[\phi])$ invariante. Por lo tanto, incluso si $S(\phi)$ es invariante pero la medida no es, podemos tener una anomalía.

2. Qué significa que la ruta integral de medida $\int \mathcal{D}q(t) \exp(\frac{i}{\hbar}S[q(t)])$ ordinario de la mecánica cuántica siempre permanece invariante bajo cualquier clásico de simetría $q\to q^\prime= q+\delta q$?

Answer 1

La mecánica cuántica también puede convertirse anómala. Un ejemplo es el de una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme. En la clásica de nivel, el sistema de traducción invariante en x e y de la dirección. Debido a que el campo magnético es uniforme, todos (gauge invariantes) medición de producir el mismo resultado en cualquier punto del espacio, por lo tanto la simetría de traslación que se espera. Pero una vez que el sistema está cuantificada, el impulso a $p_x$ $p_y$ ya no conmuta con cada uno de los otros, es decir,$[p_x,p_y]=\mathrm{i}\hbar B$. La no-conmutatividad es exactamente proporcional a $\hbar$, lo que implica que este es de hecho un efecto cuántico. En este caso, si se opta por preservar la traducción a lo largo de x, la traducción a lo largo de y debe ser roto, como $p_x$ $p_y$ se convierten en variables observables incompatibles. Este efecto se refleja en la función de onda en la Landau calibre. Por lo tanto, el sistema se vuelve anómala en virtud de la traducción.

Otro estrechamente relacionados con el ejemplo es una partícula cargada que se mueve en una esfera con un monopolo magnético (monopolo de Dirac) dentro de la esfera. Deje que el vector unitario $\boldsymbol{n}=(n_1,n_2,n_3)$ ser la coordenada que se parametrizan la posición de la partícula en la esfera ($\boldsymbol{n}^2=1$). La acción clásica puede ser escrito como una de Wess-Zumino-Witten modelo $$S[\boldsymbol{n}(t)]=\frac{1}{4\pi}\int\mathrm{d}t\int_0^1\mathrm{d}u\;\boldsymbol{n}\cdot\partial_t\boldsymbol{n}\times\partial_u\boldsymbol{n}.$$ La acción es invariante bajo el SO(3) la transformación de $\boldsymbol{n}$. Pero después de la cuantización, los autoestados son spin-1/2 objetos, que no son lineales representaciones de la(3) grupo de simetría. Así, el sistema tiene un SO(3) anomalía.

Answer 2

Las anomalías no son particulares a la teoría cuántica de campos, o incluso de la teoría cuántica. Una anomalía es una obstrucción a la representación de algunos físicamente grupo/álgebra, a menudo un grupo de simetría o de un álgebra de características observables, en el espacio de estado, y significa que el espacio de estado va a llevar no una representación del grupo de simetría en sí, sino de una extensión. Este concepto es explicado en este excelente respuesta por parte de David de la Barra de Moshe.

Si el grupo/álgebra que está obstruido es la clásica de Galileo grupo que necesita la introducción de la masa como un "centro de carga" para convertirse en el Bargmann grupo, el $\mathrm{SO}(3)$ de una partícula como en Everett Que la respuesta (que es un caso especial de una forma más general de enlace entre WZW modelos y anomalías) que necesita el pasaje a sus universalización de la cobertura $\mathrm{SU}(2)$ sobre el spin-1/2, que es una extensión central por $\mathbb{Z}_2$ o el álgebra de fermionic no Abelian cargo densitites que se extiende a la Mickelsson-Faddeev álgebra (ver de nuevo la respuesta de David) por la anomalía plazo es irrelevante - es todo el mismo principio.

El carácter fundamental de una anomalía es no , un no-invariancia de la ruta integral de medida, que sólo de una manera particular, para derivar de ella.