Significado de aproximación $\cos(\phi)=\frac{\phi^2}{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\langle{\phi^2}\rangle}$ en una teoría de campo?

Question

En el Apéndice E. 1 (enlace a un pdf) de Giamarchi del libro "la física Cuántica en una dimensión", al derivar renormalization grupo de ecuaciones (irrelevante para esta cuestión en todos), la fórmula (E. 18) se utiliza para llevar un potencial de $\cos{\phi}$ a una forma cuadrática $\phi^2\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\langle{\phi^2}\rangle}$, que es justo (E. 19), donde $\langle\rangle$ significa un promedio de más de la noninteracting rápido de modo de la parte en la acción.

No puedo entender la explicación anterior (E. 18) y la referencia de papel (un pdf gratis, 2º párrafo de abajo eq. (9)). Implican un vago (tal vez sólo para mí) con relación a la eliminación de la infinidad de fondo o de forma. También, supongo que hay un signo de menos en falta en (E. 19)?

Una instantánea de la que se parte es la siguiente

Answer 1

Me pareció fácil en la final. Simplemente porque $\langle \phi^2 \rangle$ es ilimitado, uno tiene que expandir la normalmente ordenó operador en lugar de la original que contiene fondo infinito. Aquí, el supuesto implícito es que hacemos la media armónica de Hamilton, que permite el uso de Debye-Waller fórmula en la 2ª igualdad debajo de $$\langle \cos\phi \rangle = \frac{\langle\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\rangle + \langle\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}\rangle}{2} = \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\langle \phi^2 \rangle} = 1-\frac{1}{2}\langle \phi^2 \rangle + \frac{1}{2!}\frac{1}{4}\langle \phi^2 \rangle^2 - \frac{1}{3!}\frac{1}{8}\langle \phi^2 \rangle^3 + \cdots$$ Y también tenemos el sencillo $$ :\cos\phi: = 1-\frac{1}{2!}:\phi^2: + \frac{1}{4!}:\phi^4: + \cdots$$ Por otro lado, el uso de la Mecha del teorema, tenemos $$ \cos\phi = 1 - \frac{1}{2!} \phi^2 + \frac{1}{4!} \phi^4 = 1 - \frac{1}{2!} (:\phi^2:+\langle\phi^2\rangle) + \frac{1}{4!} (:\phi^4:+6\langle\phi^2\rangle:\phi^2:+3\langle\phi^2\rangle^2) + \cdots$$ Y es fácil comprobar que $\cos\phi=:\cos\phi: \langle \cos\phi \rangle$. Uno, a continuación, expanda $:\cos\phi:$.
Sin embargo, todavía estoy preguntando donde falta el signo menos se ha ido....???